[拼音]:guangyi jiexi hanshu [外文]:generalized analytic function 推广了的解析函数。设复变函数ƒ(z)=φ(z)+iψ(z)在区域D(不含点∞)内每一点z均有微商,即ƒ(z)在D内是解析的,将它的实部φ(z)的系数1与虚部ψ(z)的系数i分别代以两个在D内连续可微函数F(z)、G(z),并要求这两个函数满足条件:
特别当F(z)=1,G(z)=i时,上式也成立。L.伯斯把F(z)、G(z)称为生成对,由它们得到函数 w(z)=F(z)φ(z)+G(z)ψ(z)。 (2) 如果在D内的任一点z,极限
存在,就称函数w(z)按生成对(F(z),G(z))在点z有微商夵(z),并称w(z)在D内是准解析的。 引入函数w(z)对墫与z的形式偏微商,即
易知
成立,式中
在上述条件下,有
式中A′(z)、B′(z)都是z的已知函数。并且还可证:函数ƒ(z)=φ(z)+iψ(z)在点z满足
由式(1),可导出|q(z)|≤q0≤1,这里q0是实常数。方程(6)在区域D内的单叶解ƒ(z)作成一个拟共形映射。И.H.韦夸把在区域D内满足复方程(5)的解w(z)称为广义解析函数。伯斯则把这种函数称为第一类准解析函数,而把ƒ(z)=φ(z)+iψ(z)即在D内满足复方程(6)的解称为第二类准解析函数。这两类准解析函数有着不同的性质,如对区域D内不是常数的第二类准解析函数ƒ(z),保持区域定理是成立的,即ƒ(z)把区域D变换到一个区域,而对于D 内的第一类准解析函数,保持区域定理不一定成立。特别,当F(z)=1,G(z)=i时,则式(5)中的A(z)=B(z)=0,又式(6)中的q(z)=0,此时w(z)=ƒ(z)=φ(z)+iψ(z)在区域D内满足 ![]() 这就是复形式的柯西-黎曼方程。 设w(z)是区域D内的广义解析函数,则必存在一个解析函数ƒ(z)与在哹上连续的函数s(z),使得
反之,设ƒ(z)是区域D内的一个解析函数,则必存在于哹上连续的函数s(z),使得由(7)式所确定的函数w(z)是D内的广义解析函数。这表明了广义解析函数与解析函数间的互相对应关系,因此上述定理叫作相似原理。 有了相似原理,使得关于解析函数的许多性质,可以转移到广义解析函数,如积分与级数理论、孤立奇点的分类、惟一开拓性、函数序列的凝聚原理、龙格逼近定理等。对于全平面E,以及任一个幂函数α(z-z0)n,z0和α为一复常数,n是任一整数,按照相似原理,必存在一个广义解析函数w(z),它相似于α(z-z0)n,且当z→z0时, ![]() 设w(z)是在圆环D:0<|z-z0|< R上的一个广义解析函数,那么w(z)在D内具有如下的展开式
它在 解析函数的实部与虚部在区域D内满足柯西-黎曼方程组,而广义解析函数w(z)=u(z)+iv(z)的实部u(z)与虚部υ(z)在区域D内满足较一般的偏微分方程组:
此处α、b、с、d都是z(∈D)的函数。将以上方程组写成复形式(5),有 |