[拼音]:shulun hanshu [外文]:number-theoretic function 以正整数为定义域的函数ƒ(n),例如数列{αn}、阶乘n!、幂nλ等都是数论函数。 重要的数论函数设n的标准分解式为
(1)麦比乌斯函数 ![]() 易知 ![]() 式中和号表示d过n的所有因数。 (2)欧拉函数φ(n) 表示与 n互素且不超过n的正整数的个数,易证
这里(m,n)=d。1801年,C.F.高斯证明了 (3)除数函数 ![]() 当u≠0时,则有 ![]() 当u=0时, ![]() 设σ1(n)=σ(n),正整数n满足σ(n)=2n时,n就叫做完全数。 (4)曼格尔德特函数 ![]() 则有 ![]() 和 ![]() 后一恒等式在素数分布理论中有用。 狄利克雷卷积设ƒ1(n)和ƒ2(n)是两个数论函数,则 若(m,n)=1,有ƒ(mn)=ƒ(m)ƒ(n),称数论函数ƒ(n)为积性函数;若对任意正整数m、n,都有ƒ(mn)=ƒ(m)ƒ(n),则称数论函数 ƒ(n)为完全积性函数,例如墹(n)、nλ是完全积性函数,μ(n)、φ(n)、σu(n)是积性函数,但不是完全积性函数。曼格尔德特函数Λ(n)是非积性函数。积性函数有下列性质: (1)若ƒ(n)是一个非恒等于0的积性函数,则有ƒ(1)=1和 (3)若ƒ1(n)*ƒ2(n)和ƒ2(n)是积性函数,则ƒ1(n)也是积性函数。 麦比乌斯反演公式设n为正整数,若 麦比乌斯反演公式是R.戴德金1857年给出的,它有多种推广形式,在数论和组合数学中都很有用。例如由 |