[拼音]:yingli hanshu he weiyi hanshu [外文]:stress functions and displacement functions 在弹性力学中,为方便求解,常把应力或位移用几个任意的或某种特殊类型的函数表示,这些函数通常叫作应力函数或位移函数。 应力函数最有名的应力函数是弹性力学平面问题中的艾里应力函数。如果没有体力,平面中的三个应力分量σxx、σyy、τxy满足下列方程:
根据方程(1),可将应力分量用一个函数φ(x,y)表示为:
φ便是艾里应力函数。对于均匀和各向同性的物体,φ是一个双调和函数,即它满足下列双调和方程: ΔΔφ=0, (3) 式中 在弹性柱体的扭转问题中,剪应力分量τxz、τyz满足下列平衡方程:
据此可将τxz、τyz用一个函数Ψ(x,y)表示为:
Ψ称为普朗特应力函数。对于均匀和各向同性的柱体,Ψ满足下列方程: ΔΨ=-2Gθ, (6) 式中G为材料的剪切模量(见材料的力学性能);θ为单位长度的扭转角。 位移函数在求解弹性力学的空间问题时,也可以用六个应力函数代替原来的六个应力分量,但好处不多。所以,一般多采用各种位移函数。对于均匀和各向同性弹性体,位移分量u1、u2、u3满足下列平衡方程: ![]() 式中 ![]() 式中ψ1、ψ2、ψ3、嫓四个函数满足下列方程:
函数ψ1、ψ2、ψ3、嫓称为布森涅斯克-帕普科维奇-纽勃位移函数。 弹性力学中许多空间问题的解都是从公式(8)推导出来的。 方程(7)还有另一种形式的解,即 ![]() 式中Fi满足下列方程:
函数F1、F2、F3称为布森涅斯克-索米利亚纳-伽辽金位移函数。对于回转体的轴对称问题,公式(10)可作许多简化。取对称轴为z轴(x3轴),记r为所考虑点到z轴的距离,并记位移在r、z轴上的投影分别为u、ω。若┃1=┃2=0,可取F1=F2=0,F3=F(r,z)。这样,由公式(10)可得到:
式中
公式(12)中的函数F称为乐甫位移函数。 在求解轴对称问题时,经常利用公式(12)。 在┃1=┃2=0的情况下,即使不是轴对称问题,方程(7)的解也可用一组位移函数F、┃表示如下: ![]() 式中F、┃满足下列方程:
这组位移函数特别适用于求解无限体、半无限体和厚板等问题。 |