[拼音]:teshu hanshu [外文]:special function 一些高级超越函数的总称,不是代数函数的完全解析函数通称为超越函数。高级超越函数是超越函数中不为初等函数的泛称。特殊函数多半是从寻求某些数学物理方程的解得出的。它种类繁多,而且不断有新的出现。常见的有:Γ 函数、B 函数、超几何函数、勒让德函数、贝塞尔函数等。一些正交多项式,如雅可比多项式、切比雪夫多项式、埃尔米特多项式、拉盖尔多项式,等等,通常也列入特殊函数的内容中。 特殊函数在物理学,工程技术,计算方法等方面有广泛的应用。研究特殊函数常用的工具是解析函数理论,如围道积分、幂级数展开等等。 L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶等人,都在这方面做过奠基工作。 Γ函数阶乘n!仅对正整数n及0有意义,扩大到任意复数α,定义阶乘函数为 ![]() 与阶乘函数密切联系的是Γ函数,它的定义是:当z不为零及负整数时, ![]() Γ(z)是亚纯函数,以0,-1,-2,…为其单极点。Γ(z)满足两个等式: ![]() 当α不为零及负整数时, ![]() 特殊情形有 n!=(1)n=г(n+1)。 当Re(z)>0时, ![]() 当│arg z│≤π-δ(δ>0),│z│→∞ 时, ![]() 在这公式中置z=n+1,就可得到斯特林公式 ![]() Γ函数是数学中常用的函数之一,许多重要级数的系数,常常用Γ函数表出。 B函数B函数可以用Γ函数来定义: ![]() 当Re(p)>0,Re(q)>0时, ![]() B函数可以用来计算一些定积分的值。例如,当Re(m)>0,Re(n)>0时, ![]() 超几何函数设α,b),с为常数且с不为零及负整数,通常把幂级数 ![]() 叫做超几何级数。当α=b)=с=1时,它就是几何级数。当α或b)为零或负整数时,它简化成多项式。如果α,b)均不为零及负整数,则它是无穷幂级数,其收敛半径为1,因而在|z|<1 中解析。这时从它出发利用解析开拓可产生完全解析函数。这样的完全解析函数(包括多项式这一特殊情形在内)叫做超几何函数,记作F(α,b);с;z)。这个符号也用来表示上述幂级数。若用θ表示微分算子 ![]() 的一个解。当Re(с)>Re(b))>0,|z|<1时,F(α,b);с;z) ![]() 设αj(j=1,2,…,p),βk(k=1,2,…,q)均为常数,且后者不为零及负整数,并设p≤q+1。幂级数 ![]() 及从它所产生的完全解析函数均可记作 ![]() 它是微分方程 ![]() 的一个解。当p=2,q=1时,它就是超几何函数,其余情形叫做广义超几何函数。当p=q=1时,叫做合流超几何函数。 一函数F(z,t),如果通过形式运算(即不管这种运算是否合理)能够展成t的幂级数 ![]() 不论这个级数是否收敛,只要ƒn(z)有意义,就称F(z,t)为ƒn(z)的母函数。 广义超几何函数及超几何函数可以用来表示多种初等函数、高级超越函数以及它们之中的一些母函数,因而有广泛应用。 勒让德函数勒让德微分方程 ![]() 的两个独立解 ![]() 及 ![]() (n≠负整数或负奇数的一半),分别叫做第一类及第二类勒让德函数,并记作 Pn(z),Qn(z)。当n为正整数或零时,Pn(z)为n次多项式,叫做勒让德多项式;而 ![]() 且 ![]() 当n为负整数(n=-m-1)时,勒让德微分方程的两个独立解为Pm(z),Qm(z)。当n为负奇数的一半时, ![]() 与勒让德函数有密切联系的是连带勒让德函数。当m,n均为整数且0≤m ≤n时,第一类、第二类连带勒让德函数分别为 ![]() 及 ![]() 这里z属于在实轴的闭区间[-1,1]上有割线的z面。它们是连带勒让德微分方程 ![]() 的两个独立解。当-1<x<1时,则规定 ![]() 当m=1,2,…,n时, ![]() 所以在研究电磁、重力、速度等的势函数以及当热平衡时物体的温度要用到它们。 贝塞尔函数在18世纪中叶欧拉研究圆鼓膜振动问题时,引进了极坐标形式的波动方程 ![]() 这里α为常数。他采用分离变量法解这个方程,得到贝塞尔微分方程及贝塞尔函数。数年后J.-L.拉格朗日研究行星绕日问题,19世纪初期傅里叶研究圆柱体的热传导问题,都用到贝塞尔函数。所谓贝塞尔微分方程就是形如 ![]() 的方程,这里v为常数。它的一个解是 ![]() 称为第一类贝塞尔函数。当v不为整数时,它的另一独立解为 ![]() 当v为整数n时,则规定 ![]() 它们称为第二类贝塞尔函数。 设 ![]() 则称 设φ0(x),φ1(x),…,φn(x),…为在开区间(α,b))上有定义的实函数系,ω(x)为定义在(α,b))上的非负函数;如果对任何非负整数m≠n恒有 ![]() 则称{φn(x)}为在区间(α,b))上以ω(x)为权函数的正交系。如果φn(x)恰为n次多项式,那么φn(x)称为正交多项式。 设v>-1,则J 勒让德多项式 Pn(x)在18世纪后期勒让德研究球体引力及行星绕日运动问题,从母函数 ![]() 出发,引进了勒让德多项式。它的常用定义是 ![]() 一个多项式如果能够用一个函数的 n阶导数乘上适当的因子表示出来,这种表达式通常叫做这个多项式的罗德里格斯公式。Pn(x)的罗德里格斯公式是 ![]() 勒让德多项式具有多种积分表示,常用的拉普拉斯第一积分表示为 ![]() Pn(x)具有递推公式 ![]() Pn(x)是在区间(-1,1)中以1为权函数的正交多项式。 设 ![]() 这里O中常数可取为 ![]() Pn(x)有n个单零点,在实轴的开区间(-1,1)中。利用这些零点以及在这些零点处Pń(x)的值,可以构造一种精确度很高的求定积分近似值公式。 1980年前后,有几位数学工作者,利用勒让德多项式,讨论一些数的无理性,扩大了这个古老多项式新的应用,引起人们的重视。 雅可比多项式P
定义
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