[拼音]:jiexi hanshuxiang jishu [外文]:series of analytic functions 由解析函数组成的级数。在实分析中,可导函数的一致收敛级数不一定可导。例如由外尔斯特拉斯定理知道,在[α,b]上连续的任何函数可表示为一致收敛的多项式级数。在复分析中有不同的结果:一致收敛的解析函数项级数是解析函数。 设ƒn(z)(n=1,2,…)是在区域D内连续的函数。如果对任何紧集K嶅D以及任何ε>0,存在着正整数N=N(K,ε),使得对n≥N及任何z∈K, 应用柯西公式(见柯西积分定理),K.外尔斯特拉斯证明了下列定理:设ƒn(z)(n=1,2,…)在区域 D 内解析,如果 形如 对于这种级数有下列阿贝尔引理:设 由这引理出发,可以证明任何幂级数 (1)存在着有限正数R;级数在圆盘|z-z0|<R内绝对收敛而且在这圆盘内任何紧集上正规收敛;当|z-z0|>R时,级数发散。这时R称为级数的收敛半径,|z-z0|<R称为收敛圆盘,|z-z0|=R 称为收敛圆周。 (2)对任何z≠z0,级数发散;这时称级数的收敛半径为0。 (3)对任何z,级数收敛,从而在任何紧集上正规收敛;这时称级数的收敛半径为+∞。 由外尔斯特拉斯定理,在第一种情况下,幂级数在收敛圆盘内解析,并且可逐项求导数;在第三种情况下,幂级数表示一整函数(即在整个有限复平面解析的函数),并且可在有限复平面内逐项求导数。 在第一种情况下,幂级数在其收敛圆上的点可能收敛,也可能发散。例如
幂级数
当上式右边中分子为+∞时,R=0;当它为0时,R=+∞。 |