[拼音]:LiMan liuxing de bianhuanqun [外文]:transformation groupsin Riemannian manifolds 黎曼流形上的具有特殊性质的各种变换群,其中最重要的是等距变换群(又称运动群)、射影变换群和共形变换群。它主要研究黎曼流形上的各种变换群的不变性质以及容有各种变换群的黎曼流形的几何性质和拓扑性质。 设ƒ是黎曼流形(M,g)到自身上的一个微分同胚。在局部坐标系下,设
即ƒ保持度量张量 g不变,则称ƒ是一个等距变换(又称运动)。它是欧氏空间的运动在黎曼流形上的推广。在等距变换下,切向量的长度、交角以及两点之间的距离均保持不变,测地线变到测地线。N.E.斯廷罗德和S.B.迈尔斯证明了:M上所有的等距变换依变换的乘法构成一个李群。这个群称为M的最大等距变换群(又称完全运动群),相应的子群称为M的等距变换群(或运动群)。设M上一个向量场
这里“┡”表示协变导数, n维黎曼流形M的最大等距变换群的参数个数至多是 如果黎曼流形(M,g)到自身上的微分同胚ƒ将测地线变到测地线,就称ƒ是射影变换。M上所有的射影变换依变换乘法构成的群称为最大射影变换群,相应的子群称为射影变换群。在局部坐标下,ƒ是射影变换的充要条件为:存在函数φ,使得成立
这里 ![]() 式中
如果黎曼流形(M,g)到自身上的微分同胚ƒ 保持向量的夹角不变,即在局部坐标系下成立 ![]() 式中σ是某一函数,就称 ƒ是共形变换。M上所有的共形变换依变换的乘法构成的群称为M的最大共形变换群,相应的子群称为共形变换群。共形变换下最重要的不变张量是由下式定义的共形曲率张量 ![]() 这里R 是数量曲率。一个黎曼流形的最大共形变换群的参数个数至多是
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