[拼音]:mianji jifen [外文]:area integral 又称面积函数,是苏联数学家。Η.Η.卢津1930年首先引入的一种特殊积分。假设 ƒ(z)是单位圆|z|<1内的解析函数,ƒ┡(z)是它的导数,那么积分
称为ƒ在点z=eiθ处的面积积分(见 ![]() ),这里δ是小于1的某个正数,Ωδ(θ)是由点eiθ引圆周Cδ(│z│=δ)的两条切线与Cδ上被两切点所截的、离eiθ较远的圆弧所围的区域。 积分(1)中的被积函数 Sδ(ƒ)(θ)在某些点eiθ处,可能是无限的。但是,卢津为了研究一类解析函数的性质,证明了当 ƒ(z)∈h2,即 ![]() 时,对于单位圆周上几乎所有的eiθ,面积函数Sδ(ƒ)(θ)都是有限的,并且
式中ƒ(eiθ)是ƒ的边值函数;当ƒ(0)=0时,还成立下面的相反不等式
式中Aδ是常数,决定于δ。 后来,J.马钦凯维奇和A.赞格蒙把上述定理又推广到函数类hp(p>0),即满足条件 ![]() 的圆内解析函数全体。 面积积分的重要性,还在于它本质上可以局部地刻画圆内解析函数ƒ 在边界z=eiθ 处非切向极限的存在性。确切地说,除了一零测度集外,圆内解析函数ƒ 在边界z=eiθ处具有非切向极限的充分必要条件是
这说明Sδ(ƒ)(θ)与ƒ的边界性质有着十分深刻的内在联系,因此它是表达圆内解析函数边界性质的一个重要工具。正是这一点,它在研究高维空间的hp理论时,发挥了非常重要的作用。 |