[拼音]:zhangliang [外文]:tensor 向量的推广。在一个坐标系下,它是由若干个数(称为分量)来表示,而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则,如矩阵、多变量线性形式等。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张量来表示。在微分几何的发展中,C.F.高斯、(G.F.)B.黎曼、E.B.克里斯托费尔等人在19世纪就导入了张量的概念,随后由G.里奇及其学生T.列维-齐维塔发展成张量分析,A.爱因斯坦在其广义相对论中广泛地利用了张量。 设n维空间中向量v在坐标系 { x1,x2,…,xn}下的分量为(V1,V2,…,Vn),而在另一坐标系{塣1,塣2,…,塣n}下它的分量为(堸1,堸2,…,堸n),则有
则称此量为(s+k)阶混合张量,更确切地称它为s阶反变、k阶协变张量。例如,黎曼流形的度量在局部坐标系下可写为 ![]() 式中gij就是一个二阶协变张量。 如果张量的分量 张量间有加法、乘法运算,其运算规则为 ![]() 对混合张量的某一个协变指标及某一个反变指标,可作缩并运算,即将这两个指标从1到n求和,从而得到一个其反变、协变阶数都降低了一阶的新的张量。 上述张量都假定其分量是n维空间中某点x的函数, 自50年代以来,由于整体几何发展的需要,人们经历了一次符号的变更,从里奇及列维-齐维塔的局部张量的符号下摆脱出来,采用了与坐标系选取无关的方式来表达张量,流形M上点x处的反变向量即为切空间TxM的元素,而协变向量(或称余切向量)ω 则是切空间TxM上的一个线性泛函ω:TxM→R,即余切空间T懜M中的元素,x处的一个k阶协变、s 阶反变张量 ![]() 如在TxM中取基{ej},其对偶基为{ωj},则 张量在近代数学和物理中有广泛的应用。
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