[拼音]:fudie kongjian [外文]:covering space 代数拓扑中的一个重要概念,又称覆盖空间。设p:塣→X是连续映射,如果在X中,每一点x都有开邻域U,使得p-1(U)是塣中一组互不相交开集{Uα}的并集,且p 限制在每个Uα上都是从Uα到U 的同胚,则称p 是复叠映射,塣是X 的一个复叠空间。 例如,由 复叠映射的提升性质复叠映射是一个纤维映射,即它对任何空间都有同伦提升性质(见同伦论)。此外,它还有更多的提升性质: 映射提升定理设Y连通、局部道路连通,y0∈Y,又设ƒ:Y→X 是连续映射,x0=ƒ(y0),取定慜0∈p_1(x0),则ƒ 有提升 愝: Y→塣 使 愝(y0)= 慜0 的充分必要条件是ƒ 映射提升惟一性定理设Y连通,ƒ:Y→X是连续映射,ƒ的两个提升愝,愝┡:Y→塣如果对某点y∈Y有愝(y)= 愝┡(y),那么愝=愝┡。 用这两个定理不难推出,当n>1时,复叠映射 p所诱导的同态p 泛复叠空间当P 当一个拓扑空间X连通,局部道路连通与半局部单连通时,它一定存在泛复叠空间。 复叠变换群是复叠空间塣 的自同胚群的一个子群,它由全体满足p。φ =p的自同胚φ(称为复叠变换)组成。 如果塣是泛复叠空间,并且X道路连通,则塣上的复叠变换群同构于π1(X),利用这个事实可计算某些空间的基本群。例如E1是S1的泛复叠空间,E1上的复叠变换就是移动距离是整数的平移,从而复叠变换群≌Z,这样就得到 除了可用来计算基本群外,复叠空间在不动点理论的研究中是一种有效工具,并且在代数拓扑各个领域和几何拓扑中还有广泛的应用。
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