[拼音]:nigongxing yingshe [外文]:quasi-conformal mapping 又称拟保角映射,即在定义区域内把每一微小圆映成微小椭圆的映射,是共形映射的推广。如果所映成的椭圆的长轴与短轴之比在定义区域内恒不大于K,则此映射为K-拟共形映射。在可微点处, 最早提出这类新映射的是H.格勒奇(1928),他为了叙述与证明皮卡定理的一个推广而引进这类新映射。他同时给出了伸缩商概念,它可以度量这类新映射与熟知的共形映射的偏差程度。М.Α.拉夫连季耶夫(1935),L.V.阿尔福斯(1936)又分别从偏微分方程与函数论的角度研究了这类新映射。这样,拟共形映射这个术语开始出现。 拟共形映射的概念不能仅限于可微的情形,因为可微的拟共形映射类缺乏紧性。在这个概念的演变过程中,形成为分析的与几何的两种定义形式;这二者最终又统一了起来(1957)。 分析定义:对于平面上的复值可测函数μ(z),μ(z)是本性有界的,
在l2中的弱正则同胚解ƒ,称为K- 拟共形映射,其中K= 几何定义用了极值长度概念。设Г 是平面上一族局部可求长弧,ρ是平面上的正值可测函数,并且
对任一у∈Г成立,则
对该域内任一族曲线Г 成立,则ƒ 是一个 K- 拟共形映射。这是K-拟共形映射的几何定义。因为极值长度是不受维数限制的,所以几何定义可以进行形式推广而形成高维拟共形映射。这方面的工作只初具规模。 当K=1即k=0时,贝尔特拉米方程退化为柯西-黎曼方程;ƒ墫=0,而式(2)则意味着极值长度乃是共形映射下的不变量。1-拟共形映射恰好是共形映射。 设ƒ(z)是把|z|<1映成|w|<1(ƒ(0)=0)的K-拟共形映射,则ƒ(z)可扩张为|z|≤1到|w|≤1的同胚映射,而且有偏离估计 如果 ![]() 这个近似表示是变分公式的精致化,在研究极值问题时有许多应用。极值问题一开始就支配着拟共形映射理论。对于通常由几何和拓扑条件规定的映射族,要求在族中求得一个映射ƒ,它的最大伸缩商 拟共形映射理论,在椭圆型偏微分方程中占有重要地位。这个理论,在黎曼曲面的研究中,特别富有成果。如黎曼曲面的模问题、单值化问题等都由于这一理论的影响而获巨大的进展。近些年来,人们发现这一理论在研究泰希米勒空间、克莱因群、有理函数的迭代、调和分析和弹性等方面已经成为一个有价值的工具。 |