[拼音]:hanglieshi [外文]:determinant 重要的数学概念和工具之一。它来源于求解线性方程组。由n2个元素(数)αij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列并写成
(1)每项是n个元素的乘积,这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的,可记为
(2)每项 (1)称为n阶行列式,有时简记为|αij|,其中αij称为第i行第j列上的元素或元;当i=j时即αii,称为主对角线(α11α22…αnn)上的元。 因为n个元的所有排列共有n!个,所以|αij|共有n!个项。由此可知,
行列式有多种定义方式,实质上不同的大致有三类:除上述的完全展开式定义外,常见的还有归纳定义和公理化定义等。 行列式的基本性质任一行列式都有以下性质: (1)行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。 (2)行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。 (3)若n阶行列式|αij|中某行 (或列) (4)行列式A中两行(或列)互换,其结果等于-A。 (5)把行列式A的某行(或列)中各元同乘一数后加到另一行(或列)中各对应元上,结果仍然是A。 行列式的计算简单的行列式根据定义或基本性质容易计算。一般方法是把它按行(或列)展开化为低阶行列式来计算。如n阶行列式A按第i行(或列)展开:
上面是按某一行(或列)展开,还可以按某几行(或列)展开。在n阶行列式A中取定某k(1≤k≤n)个行(或列),则在这k个行(或列)中的所有k阶子式分别与它的代数余子式的乘积的和为A。这就是拉普拉斯展开式。它由a.-l.柯西于1812年首先证明。 k阶子式的代数余子式是上述 1阶子式αij的代数余子式Aij的推广。设N是从n阶行列式A中划去(n-k)个行和(n-k)个列得到的k阶子式,M是从A中划去N所在的行和所在的列得到的(n-k)阶子式,则M称为N的余子式。如果N 所在的行是i1,i2,…,ik,所在的列分别是j1,j2,…,jk,那么 某些行列式用拉普拉斯展开式计算非常方便。例如,2n阶行列式 ![]() 用数学归纳法可以证明范德蒙德行列式
根据拉普拉斯展开式,两个 n阶行列式|αij|与|bij|的乘积是n阶行列式|сij|,即
![]() 设A=|αij|是一n阶行列式,则A的伴随行列式是
克莱姆规则是用行列式求解线性方程组的一种方法。设有线性方程组
xi=Di/D (i=1,2,…,n), (3)式中Di是将D中第i列中元素αi1,αi2,…,αin分别用b1,b2,…,bn替换得到的行列式。 平面解析几何中过两点(x1,y1)和(x2,y2)的直线方程可用行列式表达如下:
设n维欧几里得空间中有一个变换
上面行列式|αij|中的元 αij假定都是数;如果αij都在一个域中,上面得到的结果仍能成立。1943年,迪厄多内发表了《非可换体行列式》一文,在非可换域即体上建立了所谓非可换行列式理论,大致具备上述行列式基本性质,并把克莱姆规则推广到系数是体中元素的线性方程组上。 历史上,最早使用行列式是在17世纪g.w.莱布尼茨与g.-f.-a.de洛必达时代。后来G.克莱姆于1750年发表了著名的克莱姆规则。A.-L.柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念及其符号,但他的某些思想却来自C.F.高斯。 |