[拼音]:gaizhouqi hanshu [外文]:almost periodic function 又称殆周期函数,周期函数的一种推广,具有某种近似周期性的有界连续函数。概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的。三角多项式以及三角多项式序列的极限都是周期函数。而三角和
但由有理数集的稠密性原理可知:存在正整数n1和n2,使得 |n1F-n2G|<δ, 这里,δ是事先任给的正数。从而,存在数τ满足 |n1F-τ|<δ 及 |n2G-τ|<δ 。 还可以进一步证明更强的结论:对任给的δ>0,存在着正数l(δ),使得在每一个长为l(δ)的区间内至少有一数τ满足上式。这样,由ƒ(x)和g(x)的连续性、周期性以及上述事实便得到:对任给的ε>0,存在着正数l(ε),使得在每一个长为l(ε)的区间内至少有一数τ,满足 │S(x+τ)-S(x)│<ε。 上式虽然并不说明S(x)为周期函数,但它具有近似的周期性。一般来说,可以给出如下的精确描述:设ƒ(x)为定义于实轴上的复值连续函数,如果τ满足
就称τ为ƒ(x)的属于ε的平移数。若对任一ε>0,存在l(ε)>0,使得长度为l(ε)的区间内至少包含一个ƒ(x)的属于ε的平移数,则称ƒ(x)为概周期函数。任一周期函数必为概周期函数;由上可知,任意有限个周期函数的和函数也必为概周期函数。因而,复值三角和 ![]() 必为概周期函数。概周期函数理论中的一个重要结果是:ƒ(x)为概周期函数当且仅当ƒ(x)可以用上述的三角和序列来一致逼近。 |