[拼音]:duomubiao guihua [外文]:multiple objectives programming 数学规划的一个分支,研究多于一个的目标函数在给定区域上被同等地最优化(极小化或极大化)的问题(称为多目标最优化或向量极值)。 多目标极小化问题通常记为(VMP)
其中 若(VMP)中的ƒ(x)是x的线性(向量)函数,X是Rn中的多面体,则相应的问题称为多目标线性规划问题。若(VMP)中的ƒ(x)是x的非线性(向量)函数,或X不是Rn中的一个多面体,则称为多目标非线性规划问题。对于多目标规划,解的定义是一个非常重要的问题。 公式 一个多目标规划问题通常存在许多个有效解。在自然序意义下,因各有效解之间相互不能进行比较。因而要在它们之中加以选择,就需要引入一个偏爱序。这相当于要从决策者那里得到另外的信息。如何选取这种另外的信息以提炼成一种偏爱模式,并且在某种偏爱关系的基础上建立起有关的数学理论,是多目标规划研究的一个重要课题。 1968年A.M.日夫里翁引进了真有效解概念:如果 一个与多目标问题(VMP)相关联的单目标问题(Pλ) ![]() 是引人重视的,其中λi叫做权系数, 设 通过带权系数的问题(Pλ),可以把非线性规划的许多结果移置到多目标规划中来。权系数是一种类型的拉格朗日乘子,利用线性泛函来分离集合的一切理论都可用于此处。对无限维的情形,对鞍点和对偶定理都可进行研究。从计算方法上来说,求(VMP)的有效解或弱有效解,可归为求参数规划问题 (Pλ)的最优解。当λ遍迹Λ+ 或Λ时,将产生所有的有效解或弱有效解。但是,对于(VMP)的一个给定的有效解或弱有效解,选择一个适当的权向量λ并非易事。这是用权系数求解的弱点。 以下定理在实用中可以检验一个点的有效性,并用来产生一个有效解或判定问题的有效解不存在。 (1)塣是 (VMP)的有效解的充分必要条件为塣是(P)的最优解。 (2)若Ψ是有限的,并且 (3)若X是凸集,ƒ(x)是 X上的凸函数,问题(P塣)无有限的最小值存在,则(VMP)不存在真有效解。这些结果是R.E.温德尔和D.N.李于1977年得到的。 1978年,H.P.本森给出有效解与真有效解之间关系的一个结果:设ƒ(x)是凸集X上的凸函数,S={s∈Rm|s≤ƒ(x)对某一x∈X成立}是闭集,则任意非真有效解必是某一真有效解序列的极限。此外,用K表示所有有效解的集合,Kp表示所有真有效解的集合,若ƒ(x)在闭凸集X上是连续的和凸的,则有关系 公式
设 (2)理想点法 为了求解多目标规划问题(VMP),先依次极小化各个分目标。设求得第 i个目标的极小值 ![]() (2) 问题(2)的最优解是问题(VMP)的有效解。理想点法的基本思想是在某种意义下使向量目标函数与所考虑问题的理想点的偏差为极小,来求出多目标规划问题的有效解。在上述偏差中,p的不同取值代表了不同意义的偏差。当取p=2,λi=1(i=1,2,…,m),则偏差就为距离 (3)分层求解法 对于问题(VMP),假若目标函数
简史多目标最优化思想,最早是在1896年由法国经济学家V.帕雷托提出来的。他从政治经济学的角度考虑把本质上是不可比较的许多目标化成单个目标的最优化问题,从而涉及了多目标规划问题和多目标的概念。1947年,J.冯·诺伊曼和O.莫根施特恩从对策论的角度提出了有多个决策者在彼此有矛盾的情况下的多目标问题。1951年,T.C.库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最优化问题,引入有效解的概念,并得到一些基本结果。同年,H.W.库恩和A.W.塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题,引入库恩-塔克尔有效解概念,并研究了它的必要和充分条件。1963年,L.A.扎德从控制论方面提出多指标最优化问题,也给出了一些基本结果。1968年,A.M.日夫里翁为了排除变态的有效解,引进了真有效解概念,并得到了有关的结果。自70年代以来,多目标规划的研究越来越受到人们的重视。至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义,所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。 |