[拼音]:kongjian qulü [外文]:curvature of space 表征某种给定度规的空间对于欧氏空间的偏离程度的量。举例说,球面是一种二维的弯曲空间,球面上弧元的平方是:
式中U、嗞 为球面上的点在过球心的平面上投影的坐标;R是球的半径; ![]() 称为高斯曲率。 黎曼研究了更一般的弯曲空间。在满足一定条件的集合中给定一个二阶协变张量场;对于局部坐标x1,…,xn,这个张量场可以写为gij(x1,…,xn),它是对称的,并且是非退化的。这样的集合称为黎曼空间。gij称为黎曼空间的度规张量。在这种空间中的弧元平方定义为ds2=gij(x1,…,xn)dxidxj。上指标与下指标相同,代表这个指标分别取空间中各维来求和。这种空间的弯曲性质用黎曼曲率张量表示为: ![]() 式中
被称作联络。由Rλμvx经过一次升标和缩并运算,可以得到另外两个表征空间弯曲的量,即里齐张量Rμv和标量曲率R。由某点上两个线性独立的方向 ξ媰,ξ媱决定的标量: ![]() 叫作黎曼空间在该点的黎曼曲率。 |