[拼音]:banqun [外文]:semigroup 群概念的推广。一集合S称为半群,是指S的所有元素对于S上的一个二元运算*满足结合律,即(α*b)*с=α*(b*с),α、b、с∈S。例如,整数集合对于加法运算是一半群;集合A 的所有子集合组成的集合S(A)对于集合的并,是一半群;集合A上的所有变换T(A)对于变换的乘法,是一半群;集合A 上的所有二元关系R(A)对于关系运算的乘法,是一半群。设 Χ 是一字符集合,Χ+是Χ 中的元素组成的有限字符串的集合。若对Χ+中的两个元素 对于半群,广义结合律成立,即在有限个元素相乘时,不论以什么样的方式结合,只要元素排列的次序不变,结果总是相同的。 在半群中,如果对于正整数 n定义 若半群中存在元素e,使得对于所有的 α∈S,都有e*α=α,则e称为半群的左单位元素。同样可定义半群的右单位元素。如果一半群既有左单位元素,又有右单位元素,那么这两个元素必是同一个元素;这个元素称为半群的单位元素。若一半群中存在元素Ζ,使得对于所有的α∈S,都有Ζ*α=Ζ,则Ζ称为半群的左零元素。同样可以定义半群的右零元素。如果一半群既有左零元素,又有右零元素,那么这两个元素必是同一个元素,并称之为半群的零元素。若半群中的一个元素x满足条件 x*x=x,则x称为半群的幂等元素。显然,单位元素和零元素都是幂等元素。 有单位元素的半群,称为幺半群。如果给定的一半群S不含单位元素,那么可以给它补充一个单位元素e,使它成为幺半群S┡=S ∪{e},其中S的二元运算*已扩展到S┡上,即对所有α∈S,恒有e*α=α*e=α,并且e*e=e。在字符集合Χ上的字符串半群Χ+中,可以补上空串,使之成为幺半群Χ 如果一半群的元素的个数是有限的,那么这个半群称为有限半群。任何有限半群S必含有幂等元素,而且对于任何α∈S,都有一个形式为αk的幂等元素。 如果半群S的二元运算是可交换的,即对于α、b∈S,恒有α*b=b*α,那么S称为可交换半群。在可交换半群中,对于正整数n,有 如果半群S中存在一个元素α,使得
所示,这时 设S1和S2是两个半群,ƒ是从S1到S2的一个映射,如果ƒ是保运算的,即对所有的α、b∈S有ƒ(α*b)=ƒ(α)*ƒ(b),那么ƒ称为同态映射。当ƒ为满射时,则称S2是S1的同态像。当ƒ是双射时,则称ƒ是同构映射。此时就说半群S1和S2是同构的,记为 如果一半群S有单位元素e且有逆,即对于任何α∈S总有元素b使得α*b=b*α=e,那么半群S是一个群。如果半群S的一个子集A满足条件 一个半群是群的充分必要条件为:它既无左真理想,又无右真理想。一个有限幺半群是群的充分必要条件为:单位元素是这个半群的惟一幂等元素。 设R是半群S上的一个等价关系,如果对所有的z∈S,当xRy时总有x*zRy*z,那么等价关系R称为右不变的。同样可定义左不变的等价关系。如果半群 S上的等价关系R?a href='http://www.b15k.com/baike/224/276460.html' target='_blank' style='color:#136ec2'>仁亲蟛槐涞模质怯也槐涞模敲?I>R称为S上的合同关系。 设R是半群S上的合同关系,集合S/R是S在关系R之下的等价组集合,[x]R是S中和x等价的元素组成的等价组。若把等价组之间的二元运算*定义为 近年来,半群的理论在计算机科学中得到了应用,引起人们的重视,并成为数学家和计算机科学家深入研究的对象,有了迅速的发展。
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