数理逻辑
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[拼音]：shuli luoji [外文]：mathematical logic 又称符号逻辑、理论逻辑或逻辑斯蒂，数学的一个分支，用数学方法研究的逻辑或形式逻辑。由D.希尔伯特与W.阿克曼合著的20世纪第一本著名的数理逻辑读本称数理逻辑为理论逻辑。所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，使用已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法（见欧几里得几何学）；形式的公理方法也称为逻辑斯蒂方法。由于数理逻辑的学科性质，它自然地成为一门数学，即逻辑底数学。用数学方法研究逻辑的系统的思想一般溯源到G.W.莱布尼茨，萌芽于古希腊的亚里士多德。莱布尼茨的数理逻辑思想是研究了在其前的经典逻辑的传统（包括亚里士多德和中世纪的传统逻辑）而形成的。莱布尼茨认为经典的传统逻辑必须改造和发展，使之更为精确和便于演算。数理逻辑是经一些数理逻辑的先驱者沿着莱布尼茨的思想进行了实质性的工作，而逐步完善和发展起来的。在20世纪里，数理逻辑的内容，从狭义到较广义、最广义大致形成三个层次。 （1）最狭义的数理逻辑 通常称为狭谓词逻辑或经典谓词逻辑。这是对从亚里士多德三段论式理论演变产生的传统逻辑的严格化和必要的推广。这一部分在数理逻辑中是最基础的部分，也是传统演绎逻辑的基本内容的精密化、精确化和完善化。它是演绎逻辑的基础，也是数学在证明定理时所用的最基本的逻辑推理规律。 （2）较广义的数理逻辑 20世纪，由于数学奠基问题的研究而形成了四个数理逻辑分支，即模型论、公理集合论、递归论和证明论，简称四论。这四论构成现代数理逻辑的主要内容，这样的数理逻辑就是数学底逻辑，即数学逻辑。 （3）最广义的数理逻辑 除了上述那些内容还包括归纳逻辑、包含可能、必然等模态词的模态逻辑、内含逻辑、多值逻辑、包含时间因素的时态逻辑等等。它仍然是用数学方法研究的逻辑。 从较狭义到最广义的数理逻辑的划分，主要是对“逻辑”一词，特别是对“形式逻辑”一词的理解的由狭到广的衍化。当然，由狭到广的这种分层是不严格的。 狭谓词逻辑即经典谓词逻辑，亦即一阶谓词逻辑（简称一阶逻辑）。它是研究演绎推理的逻辑，是数理逻辑的基础部分。 狭谓词逻辑是形式逻辑。这种逻辑研究的是命题间的“形式”的推理规律。比如有以下三个表达式： 任何x，如果x是S 则x是p （x是S 蕴涵x是p）。 (1) α不是p（或非α是p）。 (2) α不是S（或非α是S）。 (3) 任何三个命题，只要其中两个有(1)、(2)形式，那么，有(3)形式的命题一定能从前两个推出。 这种推导关系与命题的内容无关，仅决定于这种表达式之间的形式关系。由(1)、(2)可以推出(3)，把(1)、(2)、(3)写作： 
式中“S(x)”表示“x是S”；“p(x)”表示“x是p”；“凬”表示“?魏巍保弧皦\”表示“非”；由之“塡p(α)”表示“非p(α)”(即“非α是p”亦即“α不是p”等等)。这样，(1┡)、(2┡)、(3┡)就表示相应的 (1)、(2)、(3)。由(1)、(2)推出(3)就表作由 (1┡)、(2┡)推出(3┡)。把(1┡)、(2┡)与(3┡)的这种关系写作：
式中的“喩”表示推出。（4）可以读作：从凬x[S(x)→p(x)]，塡p(α)可(演绎地)推出塡S(α)。(4)表示：在一定的讨论范围（论域）里，不论“S”、“p”表示什么属性，“α”表示什么个体，如果凬x[S(x)→p(x)]和塡p(α)都是真的，则塡S(α)也一定是真的。 在(4)中使用了凬、塡、→三个符号。它们可以顺序地读作“任何”（或“凡”），“非”，“蕴涵”（或“如果…则…”），这三个符号顺序地称为“全称量词”，“否定词”，“蕴涵词”。还要使用＝、彐、∧、∨、凮五个符号，它们可顺序地读作“等于”、“有”、“并且”（或“且”、“与”）、“或”、“当且仅当”；它们顺序地称为“等词”(或“等号”)、“存在量词”、“合取词”、“析取词”、“等值词”(或“等价词”)。这八个符号统称为逻辑常项。否定词、蕴涵词、合取词、析取词和等价词都是命题（或语句）连接词。有了等号，譬如可以表示 
那样的推理关系。还可以把"α≠b)"看作是“塡(α=b))”的简写，由之有
(4)中的S与p称为“一元谓词”，还可以有二元谓词，三元谓词，以及 n元谓词等等。设 Q是一个二元谓词，则Q(x，y)表示x与y之间有Q关系。比如，Q(x，y)可以表示“x<y”，或者表示“x与y是孪生兄弟”等等均可。设R是一个三元谓词，则R(x，y，z)表示x，y，z之间有借R表示的三项关系。比如R(x，y，z)可以表示“x是y和z两个正整数的最小公倍数”，或者“x与y是z的父亲和母亲”等等。对于任意的正整数n≥2，n元谓词表示n个个体之间的关系。一阶逻辑要用另一类符号称为“函数词”（或称“函数符号”、“函数符”），借以表示数学中的函数。函数可以是一元、二元、三元的等等。与谓词相似，任何正整数n，可以有n元的函数词。如g是二元的函数词，则g(x，y)可以表示“x与y中年龄较长者的母亲”或“整数x与y的最小公倍数”等等。上面用了“α”表示个体，称“α”为“个体词”（或“个体符号”、“个体符”），可以用更多的个体词，可以用具有直观意义符号。比如可以用“0”表示0，用“1”表示1之类。“0”和“1”都是个体词。谓词、函数词、个体词统称为非逻辑符号。此外，还用了“x”、“y”、“z”这些符号（称它们为变元符号，简称变元符）以及一些辅助符号，如括号和逗点。非逻辑符号之外的符号全都是逻辑符号。 有了这些符号，可以用含有这些符号的公式（记成φ，φ1，φ2，…，φn，…）来表达命题的较为复杂的逻辑形式和命题间的逻辑关系。譬如令 
则以下的推理关系是必然成立的：
如上面(4)，(5)那样前提与结论之间的推理关系，在一阶逻辑中可以一般地写作
以大写的希腊字母 φ（或别的大写希腊字母）表示推理的（形式）前提。前提是若干个公式，若 
则(6)就表示 
即表示从φ1，φ2，…，φn可以形式地推出φ。一阶逻辑也就可以说就是研究如(6)那样的φ与φ之间的喩关系的。如果把φ固定下来，看看哪些φ对于(6)是成立的，这里的φ中包含的非逻辑符号限于在φ中出现的。这样，φ称为一个（形式的）公理系统，其中的非逻辑符号表示公理系统的原始概念，φ是公理系统φ的一个（形式的）定理。这里需要特别说明的是：(6)中对于 φ与φ之间是否存在着喩这一关系是完全由 φ与φ的语法(syntax)所决定的。这就是说，仅仅地由于φ与φ具有怎样的符号排列的形式结构所确定，而与φ，φ的解释无关。φ中的公式和φ称为“语句”，对于给定的φ与φ，要确定(6)这关系成立，需要给出(6)成立的规则。比如可以有以下的规则：
等等。像(6)那样的关系的形式系统（符号、公式和规则系统）称为逻辑演算。数理逻辑是通过逻辑演算来研究命题间的前提与结论之间的逻辑关系的。研究的直接对象是逻辑演算。因之，谓词逻辑往往就称为谓词演算。通过逻辑演算来研究逻辑就是前面所说的形式的公理方法或逻辑斯蒂方法。 通过逻辑演算来做研究是否真的研究了演绎逻辑？演绎逻辑的规律是否可以这样完全妥当地被刻画？K.哥德尔于1930年证明了：一阶逻辑演算是完全地刻画了演绎逻辑。这就是著名的完备性定理。 设有一个讨论问题的范围，称为论域。譬如讨论的是关于人的问题，即以人类为论域；讨论自然数时即以自然数集为论域等等。给定一个语句集φ，就决定了一个（一阶）语言L。这语言是仅仅由φ中的非逻辑符号(谓词、函数词和个体词)和逻辑符号构成语句， φ也是这样一个语句。定义φ与它的语言L中的语句φ之间的另外一个关系，记作
φ 的语言L的非逻辑符号可以在任一不空论域中作各种许可的解释，使每一个L中的语句都被解释为真或假的命题。(9)是说:对φ 中的所有语句在任意不空论域中作任意许可的解释时都为真，则φ也随之必然解释为真。(9)中的喺与(6)中的喩不同。可以读(6)为“由形式前提φ形式地推导出形式结论φ”，喩 关系是与解释和真假无关的；(9)可以读如“前提φ 有后承φ”，喺关系是与解释和真假有关的。哥德尔完备性定理肯定：
哥德尔完备性定理的现代形式是 φ 喺φ当且仅当φ 喩φ，这是由L.亨金于1949年整理重新证明的。哥德尔定理说明了用逻辑斯蒂方法来处理形式逻辑是妥当的，具有完备性。即喩确定严格地表达了喺。这定理是形式逻辑发展史中的里程碑；为模型论的建立准备了条件，定理本身就是模型论的一项重大成果。 形式逻辑的规律是一切理性思维所必须共同遵守的客观的思维逻辑的规律，不是语言的规律，既不是自然语言的规律，也不是形式语言的规律。不同的数理逻辑学者往往采用不同的符号系统、不同的形式语言，不同国籍的学者还使用不同的自然语言，但所表达的逻辑规律却是共同的。用语言来表达思维的规律时，逻辑学者总是避免不要由于语言含混而表达不确切，失去科学性。数理逻辑采用形式语言，无非是为了确切性，不是要表达与传统逻辑不同的逻辑规律。传统逻辑的不足是需要给以补充的，一阶逻辑对传统逻辑作了补充。 在逻辑演算中，一种语句称为恒真语句（或普遍有效语句）的，引起逻辑学者特殊重视。这样的语句φ就是对任何语句集φ，φ喩φ是恒成立的。这一点等价于说：当φ空时，φ喩φ成立，此时记作喩φ，借以表示，φ的成立不需要前提。逻辑学者往往称恒真语句为(形式)逻辑规律。恒真语句的重要性在于，(6)成立的充分必要条件是，在φ中必然存在着有穷个语句φ1，φ2，…，φn使得
成立。(10)和(11)包括 喩φ这一情况，即n=0。不论(11)中的n是不是0，喩右方的语句总是恒真的。恒真语句的例子如φ→φ， 数学底逻辑主要指较为广义的数理逻辑，也就是数学基础研究形成的模型论、公理集合论、证明论和递归论四个数理逻辑分支。 模型论研究形式语言和对它的解释之间的关系的理论。对于一个如上述的逻辑演算中的语句集φ 决定了一个语言L，给出一个解释M，就是L的模型。这就是说，模型论就是研究M与L间关系的理论。当建立φ时，用了一个语言L，可以有许多不同的解释，有许多不同的模型。但是为了研究一定的数学结构而建立一个语言L和语句集φ 时是有预定的解释M的，即目的是为了研究数学结构M。可以从两方面考虑问题：一方面，从已有的数学结构出发，研究这种结构，研究中会需要把数学结构当作语言的预定模型进入模型论的研究。这种研究是出于对数学结构的代数性质的理解。另一方面，从形式语言L出发（不论L及其特定的语句集φ 是怎样得到的）研究L与它的模型之间的关系；当然，研究中可以使用各种数学工具。这种研究是出于数学基础研究的需要和目的。前一方面的考虑是泛代数性质的，后一方面的考虑是模型论性质的。模型论与泛代数的范围（外延）是很难划分清楚的，而倾向和目的则可以是不同的。1898年出版了第一本由A.N.怀特海所著的泛代数专著。A.塔尔斯基1931年发表《形式语言中真底概念》一文，模型论的发展才有了基础。哥德尔1930年发表的完备性定理是模型论性质的结果。在此之前还有其他相当重要的模型论性质的结果。但是作为数学逻辑的一个方向的模型论，仍推由塔尔斯基的工作肇始，而由A.鲁宾孙等学者的贡献得于20世纪50年代形成。 公理集合论如果在研究模型论时关心的预定模型是集合论，那就进入了公理集合论的范围。不能把公理集合论看作模型论的一个分支。各门数学中的概念、定义、定理和证明都可以用集合论语言来表达。这就是说，各门数学都可以（在一定意义下）还原到集合论。所以，奠定数学基础就成为奠定集合论基础，归结成为公理集合论的研究。公理集合论对于数学基础有其特殊意义。哥德尔1940年发表他的讲演录《选择公理和广义连续统假设对集论公理的一致性》中证明了，如果集论公理是无矛盾的(即协调的或一致的、相容的)，那么加上选择公理和康托的广义连续统假设(即对任何序数 如果一个形式系统φ 对于L中的任何语句φ，不能同时
都成立，就说φ 是无矛盾的。证明论原来就是研究数学无矛盾性问题的。它是按希尔伯特计划的思想进行的数学基础研究，形成了数理逻辑的一个分支。现在则应当说，证明论是以数学证明为研究对象的数学。由于哥德尔1931年发表了不完备性定理，证明论的研究和原来不同了。哥德尔定理说，一个数学理论，只要包含着自然数的理论（如集合论），那么这理论的形式的公理系统φ 一定是不完备的，即一定找得出一个φ，使(12)、(13)都不成立。哥德尔的（第二）不完备性定理还说，如果φ 是一致的，那么，这一致性不可能在φ 中证出，必须在一个比φ 更强的系统里才能证明。这就使证明论的内容发生了变化，整个数理逻辑都受到相当大的影响。哥德尔能够证明他的定理，是由于他在J.埃尔布朗工作的基础上看清楚了证明与计算的关系，运用了递归论的技巧。 递归论也称算法论，是研究算法、可计算性、不可计算性的数学。算法与数学有着同样长的历史。递归论研究的是算法的一般规律，研究数学的问题类是否存在着算法解。一类问题存在着算法解就是这类问题都是可解决的；一类问题不存在着算法解，就是这类问题不都是可解决的。研究问题类的可解决性和不可解决性就是数理逻辑中的判定问题，这是关系到全部数理逻辑的问题。递归论的研究开始于对自然数的递归(可计算)函数的研究，自然就推广到公式、序数（全部序数或某一序数α≥ω）和集合等各种数学结构的递归函数的研究。集合论中“可构成集”和“力迫法”概念是广义的递归论的概念。递归论与构造性数学不可分，是构造性数学的理论基础。 如上所述四论的内容都可以看作是一阶逻辑的延伸，因为它们都可以在一阶逻辑的范围里讨论。一阶逻辑是最基本的逻辑，在一阶逻辑的基础上讨论的四论也是四论中最基本的部分。高于一阶的高阶逻辑也有它的重要性。 一阶逻辑演算中的谓词、函数词称为一阶谓词、一阶函数词，变元符号都是个体变元符号。如果有一阶谓词的变元符号，而且许可用量词（即凬，彐）来约束，这样就由一阶逻辑演算扩充为二阶逻辑演算了。比如 x是一个一元的谓词变元符号，在二阶逻辑演算里有这样的语句
这是一个二阶逻辑演算中的语句，可以用（14）来定义“α=b)”。即 
是二阶逻辑演算中的恒真语句。在二阶逻辑中还许可有二阶的谓词。比如D是一个二元的二阶谓词，写出一个包含D的公式如
这是一个二阶逻辑的语句。(15)中的Y，Z 都是(二元的)一阶的谓词变元符号，表示D 是两个二元谓词之间的一种包含关系。如Y表示<，Z表示≤，则D表示＜包含于≤之中。在二阶逻辑中可以有像D这样的谓词，但不许可有对应于D 的二阶的谓词变元符号；如果许可用二阶的谓词变元符号，并许可用量词来约束，就进入三阶逻辑范围了。对于任何正整数n，可以有n阶逻辑。一般讲的高阶逻辑，就是讲包括所有n阶逻辑的高阶逻辑。 由于集合论公理的使用和哥德尔完备性定理的证明，高阶逻辑的数学基础意义也随之而变。哥德尔在1936年发表了一篇短文《论证明长度》中说:由n阶逻辑过渡到n+1阶逻辑，不但可以证明原来在n阶逻辑中不能证出的定理，而且存在着无穷多的在 n阶逻辑中本来可证的定理证明的长度极大地缩短。这就说明了，高阶逻辑对于证明论、递归论(特别是计算复杂性)、公理集合论和一阶逻辑中的证明的研究都是很有意义的。哥德尔在1936年指出的方向的研究，开展得很不够。 最广义的数理逻辑最广义的数理逻辑应当包括哪些内容是难于作系统概括的。下面是20世纪内出现的、难于归入前述的一些研究方向。 多值逻辑可以看作超出古典逻辑局限的一个研究方向。在古典逻辑中，命题只可能有真或假两“值”，经典逻辑是二值逻辑。现代多值逻辑研究多于二值的逻辑演算，即三值以至更多值的逻辑演算。作为一种数学研究，有逻辑的意义，也有非逻辑的意义。对于n(≥2)元集上的可能的函数集的研究就是n值逻辑的问题，有各种应用。 模态逻辑是另一方向。在模态逻辑中除了一阶逻辑中已讲到的命题连接词，还有“可能”，“必然”，“严格蕴涵”几个连接词。以“ 
模态逻辑中引进严格蕴涵词 以上讲到过的逻辑都是演绎逻辑。逻辑学家往往把归纳逻辑与演绎逻辑并列。演绎逻辑是研究演绎推理的逻辑，归纳逻辑是研究归纳推理的逻辑。现代数理逻辑中的归纳逻辑也是通过对形式的逻辑演算中语句间的形式关系来研究的。在现代归纳逻辑中，"确定度"或“确定程度”的概念很基本。确定度可以比作演绎逻辑中的蕴涵词（经典逻辑中的真值蕴涵词→，或模态逻辑中的严格蕴涵词
它可以读为“对于
如何定义这个函数，有各种途径。逻辑学家、科学哲学家R.卡纳普于1950年出版的《概率的逻辑基础》一书中提出了建立归纳逻辑的途径。他用数理逻辑的方法分析了逻辑过程，认为“归纳”和“概率”是相同的。他的论题导向对“归纳”的语义分析和建立严格的归纳的数理逻辑。为了研究归纳逻辑，类似于研究演绎逻辑，可以建立各种归纳逻辑演算。归纳逻辑，是在20世纪里由于数理逻辑和数学基础理论的建立和发展才开始形成一门科学的逻辑。 可以归入不是由于数学基础研究目的的逻辑，或者被认为是逻辑的很多，如时态逻辑、道义逻辑、认识逻辑等等。由于别的学科中涉及“逻辑”问题而形成的“逻辑”也很多，如量子逻辑、计算机逻辑、程序逻辑等等，不能一一列举。如果承认它们都是逻辑，那也就都是数理逻辑，因为都是用数学工具和方法来研究的。在进入70年代之后，由于科学、技术的发展，在各研究领域中都涉及思维的逻辑规律问题，从各方面要求密集各种知识、澄清各种逻辑问题。数理逻辑及其应用正在很迅速地发展。在这种情况下，最广义的数理逻辑的体系结构实在难于作出明确的刻画。但是，从总的发展趋势看，对于最广义的数理逻辑来说，数学逻辑的内容是基础，是数理逻辑发展的重点。 现代数理逻辑的基本特点关于现代数理逻辑的基本特点，可从数理逻辑与逻辑、数学和计算机科学三个学科领域的关系来简单地说明。 数理逻辑与逻辑的关系简而言之，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。但有人会怀疑数理逻辑里是否会包括一些不属于形式逻辑的内容，或者形式逻辑的内容是否全都能包括在数理逻辑里。譬如，关于亚里士多德的三段论式理论，会有人认为不能如现代数理逻辑学者那样理解（象希尔伯特与阿克曼在《理论逻辑基础》一书中就讲了亚里士多德的三段论）。对亚里士多德三段论应当怎样理解，本来在逻辑学者中就有分歧。波兰著名数理逻辑学家J.武卡谢维奇深入研究了亚里士多德希腊文的逻辑原著、对其原著的注释和传统逻辑学者的著作，于1951年出版了一本《亚里士多德的三段论》专著，系统地陈述和讨论了亚里士多德逻辑和传统逻辑问题。亚里士多德的逻辑是经受了许多误解的，误解主要产生于逻辑学者把亚里士多德逻辑等同于在亚里士多德之后传统逻辑著作中所讲的三段论式。武卡谢维奇的著作用数理逻辑的方法，澄清了这些问题。至于超出经典逻辑范围的较广义的数理逻辑，自不能局限于亚里士多德逻辑和传统逻辑的范围，但是并没有超出形式逻辑范围的内容。因为，按对“形式逻辑”的“形式”的严格含义，数理逻辑的内容只能都是形式逻辑。形式逻辑发展为数理逻辑，使得形式逻辑有了远大的发展前景。 数理逻辑与数学的关系从科学性质看，全部数理逻辑都是逻辑底数学，都是数学。从数学方面看，每一门数学是一个数学结构。对数学结构作系统的考虑时会与数理逻辑发生关系，譬如会涉及构造性与非构造性的关系问题（见数学基础）。就拿一门数学中的一个尚未解决的数学问题来说，会有难于下手的情况。这时可以研究这问题是否是可解决的，这就成为另一性质的数学问题了，有可能会有了下手之处。有了这种下手之处，结果不外两种。一种是证明了问题是可解决的，即证明φ与塡φ之一是可证的，虽然还不知道究竟φ还是塡φ可证。这时据数理逻辑已有结果，可以给出φ和塡φ二者之一的证明的机械方法。另一种可能是，证明了在某一公理系统 在莱布尼茨的思想中，数理逻辑、数学与计算机三者出于一个统一的目的，即思维过程的演算化、计算化，以至在计算机上实现。他在计算机发展史上有崇高的地位。他研究了B.帕斯卡的数学与计算机思想，创制了第一台具有四则运算的计算机，建立了计算机发展中的第二个里程碑。他研制计算机是为了实现他的理想，尽管还远未实现。在20世纪里经过数理逻辑学家J.冯·诺伊曼与A.M.图灵的工作，造出了第一台程序内存的计算机。由于哥德尔等数理逻辑学者的伟大贡献，在进入70年代之后，计算机科学技术、逻辑、数学都有了较大的发展，莱布尼茨的理想才逐步得到具体的实现。现在，原则上早已清楚，哪些思维过程可以借计算机来实现，哪些不可能；换言之，莱布尼茨理想实现的可能性已经得到相当的澄清：可以由计算机实现哪些思维过程；如何组织好计算机（自动机逻辑问题）；如何提高计算机的效率（软件问题、计算复杂性问题、计算系统体系结构等问题）；也知道了如何进一步开展有关的研究。这些问题的研究直接关系到计算机工业和软件产业的发展。这些计算机问题的研究中包含着大量的与数理逻辑有关的研究课题，许多问题本身就属于数理逻辑。 人类社会正进入信息化的时代。这个时代的科学技术特点之一是一切科学、技术领域都需要用计算机对信息进行加工处理，促使科学、技术的数学化。新的时代必将是数学大发展的时代，而数理逻辑在其中将起着很关键的作用。
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之类。(6)与(11)的上述关系既说明了喩和→之间的关系又说明了它们的区别。
)也是无矛盾的。P.J.科恩于1963～1966年发表集论公理独立性的一些论文（参见他1966年出版的《集合论与连续统假设》一书），证明了（广义）连续统假设和选择公理的独立性，即：如果集论公理无矛盾，那么加上连续统假设（选择公理），或加上其否定都不矛盾。这些成果已为数学界所公认。但是数学基础学者各根据自己的数学观可以对此见仁见智，各有不同，有所争议。数学基础问题有待于公理集合论的进一步研究。
(12)
(13)
(14)
(15)
”表示可能，“塡
，是由于一些逻辑学者对于古典逻辑中的蕴涵词→（对应于严格蕴涵词，称→为“真值蕴涵词”）的一些规律的存疑。但是模态逻辑研究的成果是有意义的，而且在许多方面是有应用的。模态逻辑是数理逻辑中一个很重要的分支。一般逻辑学家往往把模态逻辑归入内涵逻辑，以区别于经典逻辑为外延逻辑。内涵逻辑是关于意义的逻辑，而外延逻辑只涉及命题的真假值和概念所指的范围（即外延）。模态逻辑在进入20世纪60年代已发展得很成熟，发展出模态模型论。但是，对于一般的“内涵逻辑”很难作数理逻辑学者公认的刻画。A.丘奇在1941年时曾讨论到对函数概念的“外延”和“内涵”的两种不同的理解。他说：ƒ、g两个函数，若它们的定义域相同，当它们的主变元取值相同时函数值也都相同，则认为ƒ与g是同一个函数，这是对“函数”外延地理解；如果取值的规则不同（尽管外延地理解ƒ、g是相同的）就把ƒ与g看作是两个不同的函数，那么这就是对函数的内涵地理解了。内涵逻辑是重要的，但如何确切地定义“内涵逻辑”还存在着问题。
、φ两个语句，可以用蕴涵词造出新的语句
φ。在归纳逻辑中则可以造出
(16)
而言φ的确定度为r”或“
。
中，φ与塡φ都不可证。那就导致超出这一问题本身更为深刻的数学问题的研究。譬如希尔伯特第10问题就是一例。数理逻辑提供了数学研究有意义的工具和方法。
