[拼音]:paosheti yundong [外文]:motion of a projectile 以任意初速抛出的物体在地球重力作用下的运动。作这种运动的物体称为抛射体。抛射体的质心在运动中的轨迹称为弹道或弹道曲线。 抛射体的理想运动指在下述四种假设下的运动: (1)抛射体在真空中运动; (2)抛射体的射程与地球的尺寸相比很小,故地球表面可视为平面,各处重力互相平行; (3)抛射的高度与地球半径相比很小,各处重力加速度g可视为常数且等于在地面的值; (4)在地面上静止的物体具有与地球在该点的转动速度相同的速度,所以初速不太大时,抛射体的运动可不考虑地球的转动。在这些假设下,抛射体对静止于地面的直角坐标系的运动方程为: m塯=0,m╔=-mg。 设初速v0与水平成θ0角,而初始条件为: x0=0,y0=h, 凧0=v0cosθ0,夻0=v0sinθ0, 则积分后的运动方程为: x=v0tcosθ0, y=v0tsinθ0- 消去t后,得弹道方程:
这是一个抛物线方程(图1)。 ![]() 当y=h时,可从上式求出抛射体的射程:
可见射程不仅与初速度v0有关,且与θ0有关。当θ0=45°时,射程最大。 抛射体的实际运动考虑空气阻力的抛射体运动。炮弹或导弹在空气中运动时,空气的阻力对弹道的影响是缩短射程、减小落地速度和增大落地角,并使弹道具有竖直渐近线(图2)。 ![]() 在阻尼介质中运动的抛射体同时受到重力P和空气阻力R的作用(图3)。 ![]() R与速度v反向,其大小则为v的某一函数mf(v),其中m为抛射体的质量,是为了算式简明而写上的。抛射体沿曲线的切向和法向的运动微分方程为:
式中θ是速度矢量与水平轴x的夹角。 曲率半径ρ与弧长s和倾角θ有如下关系:
式中负号表明θ角随弧长s的增加而减小。于是式(1)可写作:
从以上两式消去dt,得到:
或改写为:
只有在函数f(v)取某些特殊形式时,式(3)才有一般的积分。例如:f(v)=cv,f(v)=cv2,f(v)=av+bv2(牛顿,欧拉),f(v)=cvn(约翰第一·伯努利),f(v)=a+bvn(达朗拍)等。在外弹道学中,方程式(3)的积分一般用近似方法。下面分述介质阻力对抛射体运动的影响。 (1)介质阻力对射程的影响 将式(4)写为:
由于 (2)介质阻力对落地角的影响 利用式(2)的第二式,
沿弹道的上升段积分,y由0到h,θ由θ0到0,得到:
如以θ1代表落地角,将式(5)沿下降段积分,得到:
因为vx是减函数,上面第二个积分的值必定大于第一个,故tg2θ1>tg2θ0,即抛射体的落地角θ1大于发射角θ0。 (3)介质阻力对落地速度的影响将式 (2)的第一式乘以v并积分,得:
设落地时t=t1,落地速度为v1,此时y=0,上式变为:
此式表明v1<v0,即落地速度v1小于发射速度v0。 (4)阻尼介质中弹道的渐近线 θ角从初始值θ0逐渐减小,在弹道顶点处变为零,此后即取负值。由式(2)中的第二式得出:
根据初始条件t=0时θ=θ0,积分后可得:
从上式可以看出,当θ→ 此外,当射程较大时,例如远程弹道导弹,由于地面是球形,球面曲率的影响是增大射程(图4)。图中椭圆是导弹在地球有心力场中的真空弹道。此时的射程等于Rφ,显然大于设地面为平面情况下的射程。 ![]() |