仿射几何学

[拼音]：fangshe jihexue

[外文]：affine geometry

研究图形在仿射变换下不变性质的几何学分支学科。设V是一个 n维向量空间，A是一个集合，其中元素称为点。如果对A中每两个点P、Q都惟一对应着V中的一个向量并且这种对应规则还满足：(1)(V中零向量)，(2)任给P点和V中向量a，总惟一存在点Q使，(3)对A中任意三点P、Q、M ，成立则称A为一个n维仿射空间。n=2时，称为仿射平面。

在仿射空间中取定一点O，那么任意一点P就惟一地与V中的向量对应，称为P点关于点O的位置向量。点O也常称为原点。因此，取定原点后，仿射空间A就与向量空间V建立起双方一一的对应。由此，就可以建立起仿射空间中的仿射坐标系（见坐标系）。

对于向量空间V的k维子空间 V^k(0<k≤n)和A中点P，集合称为A的仿射子空间，它是过点P的一个k维仿射空间。如果A的子集是仿射空间，必能表为上面形式。特别当k=1时，A称为过P的直线;k=2时，称为平面；k=n-1时，称为超平面。

仿射空间中最重要的变换是仿射变换，它的特征是将共线的三点变为共线的三点。给定仿射坐标系后，仿射变换有明确的代数表示。仿射变换全体构成的变换群称为仿射变换群。仿射变换下重要的不变性质和不变量有：共线性、平行性、平行线段的长度比等。

如果在仿射平面（或空间）中引入无穷远点，并且将它们与原有点不加区别，则就成为射影平面(或空间)。在射影平面（或空间）中指定一条（或一个）直线l(或超平面π)，那么射影变换群中保持l（或π）不动的变换就构成一个与仿射变换群同构的变换子群。从这个意义上讲，仿射变换群就是射影变换群的子群，而仿射几何也就成为射影几何的子几何（见射影几何学）。

参考书目