极限
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[拼音]：jixian [外文]：limit 数学的一个重要概念。在数学中，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那么该定值就叫做变化的量的极限。极限概念更精确地表述为：如果序列x1，x2，...xn，...，当n无穷大时，趋向于某个确定的数值a，则称数a为该序列的极限。记作 
极限思想在古希腊的穷竭法和中国古代的割圆术中已经萌芽。在I.牛顿的微积分中也含有极限思想。但是，直到19世纪初，人们对极限的理解还没有摆脱几何直观。只是到了1821年，法国数学家A.L.柯西才把极限概念建立在算术的基础上。他把极限定义为：若变量的一串数值无限地趋向某一定值时，其差可以随意地小，则该定值称为这一串数值的极限。19世纪70年代，德国的K.魏尔施特拉斯等人在数学分析的算术化过程中，进一步用“ε-N”语言更精确地把极限概念表述为：如果序列x1，x2，...xn，... 对于任意给定的无论怎样小的正数ε，总存在一个正整数 N，使得当n>N时，不等式ㄧxn-aㄧ<ε 恒成立，则称数a为该序列的极限。 极限概念体现了有限与无限的对立统一关系。序列x1，x2，...xn，...是由无限多个有限值组成的，并且在收敛的条件下，存在着有限的极限值。这说明了无限包含着有限，并且在一定条件下，可以向有限转化；另一方面，有限又包含着无限，在一定条件下，可以转化为无限，并通过无限表现自身。这一点在函数f(x)的级数展开式 
中得到充分体现。正是有了这一公式，我们才能研究复杂函数的变化情况，以及求无理数的近似值。例如，求自然对数的底 e的近似值，就可以利用它的级数展开式 
求得。这表明极限概念具有重要的方法论意义。 |
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