悖论

[拼音]：beilun

[外文]：paradox

指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一类命题。这类命题也可以表述为:一个命题A，A蕴涵非A，同时非A蕴涵A，A与自身的否定非A等值。

历史上最早发现的悖论是古希腊麦加拉学派的说谎者悖论，用现代形式表述是“这句话本身是谎话”。这句话是真的还是假的？如果它是真的，即“这句话本身是谎话”是真的，它就是谎话，而谎话是假话，那么它是假的；反之，如果这句话是假的，即“这句话本身是谎话”是假的，它就不是谎话，那么它就是真的。由此构成了一个逻辑矛盾──悖论。

悖论之所以引起现代逻辑学家和数学家的很大注意，是由于19世纪末20世纪初，在G.F.P.康托尔的集合论中发现了几个著名的悖论：

（1）布拉里 -福蒂悖论，即“最大的序数”或“包括一切序数的良序集”悖论。康托尔本人在1895年已经发现了这个悖论，并在次年告知D.希尔伯特。

（2）康托尔悖论，即“最大基数”或“一切集合的集合”悖论。

（3）罗素悖论，即“一切不是自身分子的集合所构成的集合”悖论。根据排中律，一个客体或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对一个给定的集合，问它是不是自身的分子，即问是否属于它自己，看来是有意义的。如把一个集合S定义为：S由一切不是自身分子的集合所组成，即任一集合α，α属于S，当且仅当，α不属于α。这必然要涉及到 S是否属于 S的问题。如果 S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就是属于S，即S属于S，当且仅当，S不属于S。这是一个逻辑矛盾。在集合论中发现悖论，特别是罗素悖论，引起了逻辑界和数学界的震惊。因为，对于布拉里 -福蒂悖论和康托尔悖论，由于包含序数和基数这样复杂的概念，还存有一种希望，它们可能是由于某种技术性的错误引起的，从而有可能通过发现和改正错误而加以消除。但是罗素悖论则不然，它是由最基本的逻辑概念、集合和属于关系形成和表达的，其中没有任何技术上的错误，这就不能不引起人们严重的关切。

继发现集合论中的几个著名悖论之后，人们又相继发现了几个不在集合论范围的悖论。其中最重要的是瑞恰德悖论，即“一切可以用有穷个字定义的实数”悖论。这个悖论的一个变形是一个比较简单的表述，即“不能用少于17个字定义的最小整数”。这句话定义了那个整数，而只用了16个字。由于原来形式的瑞恰德悖论的论证和著名的康托尔对角线法相类似，从而更突出了探究悖论的性质、产生的根源、寻求解决方法的迫切性。

悖论问题对逻辑学的发展产生了深远的影响，它导致了两个重大的进展，即类型论（见高阶逻辑）的创立和集合论的公理化（见公理化和形式化）。悖论问题也与数学基础的研究有密切的关系。一般说来，悖论的产生和某个原则有关，或者和某种说话方式有关，甚至和某个更一般的原则有关。康托尔集合论中出现的悖论，就牵涉到这样一个原则，即一个性质定义(决定)一个集合，或者说，具有某个性质的元素的全体构成一个集合。说谎者悖论涉及说话的方式，即一句话说及它自己，对自己作了断定。在逻辑学家和数学家中间，对产生悖论的根源有不同看法，并沿着不同的途径解决悖论问题。B.A.W.罗素认为，产生悖论的根源在于，假定一类事物可以包括此类的整体(集合)作为分子。例如，一切集合所构成的类还是一个集合。更精确些说，一类事物可以包括只能根据此类的整体才能定义的东西作为分子。罗素把这种类叫做“不合法的全体”，而承认它就会引起“恶性循环”，导致自相矛盾。为了消除产生悖论的根源，罗素提出了“(禁止)恶性循环原则”，并建立了类型论。不过，“（禁止）恶性循环原则”是一剂太猛烈的药，因为不符合这个原则的并不总是导致悖论，它所排除的不仅是悖论，而且还排除了许多其他的重要数学内容。例如实数理论中的一条基本定理──最小上界定理，即“如果一个实数集合有上界，那末它就有最小上界”，在按照“（禁止）恶性循环原则”建立的系统中就是不能表达的。为了弥补这个缺陷，罗素又引入了所谓还原公理。但是，增加了还原公理，实质上就是勾销了原来为排除瑞恰德悖论等悖论，而在类型论中提出的对同一类型的谓词区分层次的要求。罗素为解决悖论所做的工作，实际上是引进新的逻辑原则，建立新的逻辑理论。按照许多数学家的意见，解决集合论中的悖论并不需要建立新的逻辑理论，产生悖论的根源也不是由于违背了某条逻辑原则，而是在于集合概念不精确，并允许“太大的”集合存在，如“一切集合的集合”、“一切序数的集合”等。

与罗素建立类型论差不多的时间，德国数学家E.策尔梅洛于1908年实现了集合论的公理化。策尔梅洛的基本想法就是对集合的大小加以限制，并提出一组关于集合的公理，认为只有满足公理的客体才是集合。他的公理集合论消除了康托尔集合论中的已知悖论，同时也不影响许多重要的数学定理，如对最小上界定理的陈述和证明。但是，它只是说明了可以排除已知的悖论，而不能从理论上保证公理集合论不会再出现这样或那样的逻辑矛盾。K.哥德尔于1931年提出的不完全性定理表明，要证明集合论公理系统的一致性，有根本性的困难。

1926年，英国数学家F.P.拉姆齐提出把悖论分成逻辑悖论和语义悖论两类。前者又称为语法的，它包括布拉里－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论等；后者也称为认识论的，其中包括说谎者悖论和瑞恰德悖论等。拉姆齐认为有更简单的方法，即通过区分对象语言和元语言这种更简单的方法，就能解决语义悖论。因此，罗素为消除语义悖论而提出的那种很麻烦而且引起困难的类型支论，就不是必需的。随着语义学的发展，真实性概念可以用集合论概念精确定义，因此，两类悖论之间的差别也不是绝对的。