离散时间系统

[拼音]：lisan shijian xitong

[外文]：discrete time system

输入和输出都是离散时间信号的系统。例如，数字滤波器就是典型的离散时间系统。离散时间信号指只在特定时间t_k(k为任意整数)取值的信号。离散时间信号的幅度可以是有无限精度的，也就是说，它的幅度可以是连续变化的。由于离散时间信号是用一个序列的数来表示的，所以又称离散时间序列。如果离散信号在时间上和幅度上都是离散的，则称为数字信号。

离散时间信号所表示的现象，有的本来就具有离散的性质，有的是由连续时间信号按一定的时间间隔抽样得来的抽样信号。由确定的时间序列表示的离散时间信号称为确定性离散时间信号。幅度不能预知而只能用随机变量表示的离散时间信号称为随机离散时间信号。依一定时间间隔重复变化的确定性离散时间信号称为周期性离散时间信号。不具有周期性的离散时间信号称为非周期的离散时间信号。离散信号按其维数的多少可以分为一维离散信号和多维离散信号。多维离散信号是指二维和维数更高的离散信号。

离散时间系统的种类很多，主要有以下几种。

（1）静态系统和动态系统:如果系统在时刻t的输出仅依赖于同一时刻的输入，例如分压电阻上的输出电压仅依赖于同一时刻的输入电压，则这类系统称为静态系统。如果系统在时刻t 的输出一般地依赖于过去的输入或过去的输出，则称为动态系统。这种系统记忆着过去，所以又称记忆系统。与此相应，静态系统又称无记忆系统。离散时间静态系统常用联立代数方程组描述；离散时间动态系统在时域中常用差分方程或差分方程组描述。

（2）线性系统：线性离散时间系统指同时具有叠加性和齐次性的系统。叠加性是指当若干个输入信号同时作用于系统时，总的输出信号等于各个输入信号单独作用时产生的输出信号之和。齐次性指输入信号乘以某常数时，输出信号也相应地乘以同一常数。用差分方程描述线性离散时间动态系统时，须带有起始状态。因此，系统的完全响应中既包含着起始状态为零、仅由输入引起的响应（称为零状态响应），也包含着输入为零仅由起始状态引起的响应（称为零输入响应）。如果系统的完全响应等于零输入响应与零状态响应的叠加，则称此系统为可分解的。若可分解系统的零状态响应与输入之间具有线性性质，零输入响应与起始状态之间也具有线性性质，则称此系统是增量线性的。在习惯上也简称为线性系统。

（3）时不变系统：系统的激励与响应之间的关系与时间起始计算的时刻无关。即，设激励为χ(n)时产生响应y(n)，如果激励为χ(n-n₀)，则响应为y(n-n₀)。这里n₀为延迟的时间或移位的个数。具有这种性质的系统称为时不变（或移不变）系统。线性时不变系统是用得最为广泛的系统。实际所遇到的问题虽然严格地说来都是非线性的和时变的，但大多数情况可以用线性时不变系统来近似并得到满意或基本满意的结果。线性时不变系统使用非常广泛的原因还在于人们对于线性常系数差分方程的研究已经比较成熟。可以在时域或变换域中进行运算、变换和求解。

（4）稳定系统：当系统接受有界输入时只产生有界的输出。反之，如果有界的输入能导致无界的输出，则系统是不稳定的。系统的稳定与否只决定于系统本身的结构和参数，并不依赖于输入和输出。

（5）因果系统：系统现在的输出不依赖于系统未来的输入。例如，差分方程

y(n)＋ay(n－1)＝b₀χ(n)＋b₁χ(n－1)

描述的系统是因果系统。式中a、b₀、b₁都是常数。但是，差分方程

y(n)＝χ(n＋1)

描述的系统，它现在的输出要取决于未来的输入，所以系统是非因果系统。非因果系统虽然在物理上不能实现，但却是可以计算的。

此外，离散时间系统还有非线性系统、时变系统等。

用于描述离散时间动态系统，说明系统输入和输出之间关系的差分方程或差分方程组称为此系统的数学模型。建立数学模型对于离散时间系统的分析和综合都很重要。

以离散时间系统来近似连续时间系统为例，说明离散时间系统模型的建立。设一个RC电路，在施加输入以前电容上的电压为零。设其输入电压为χ(t)，χ(t)为一单位阶跃函数，输出电压为y(t)。其输入输出关系为

　　　(1)

要用计算机求出y(t)，需要将式(1)变为差分方程。令y(t)及χ(t)的抽样值y(nT)及χ(nT)来代替y(t)及χ(t)，T为抽样时间间隔，再令

则得

式中 。

将上式简写为

　　　(2)

即为所需差分方程。只要T 取得足够小，符合抽样定理，则式(2)计算出来的结果相当准确。

离散时间系统的数学模型一般可表示为

　 (3)

式中a_k呏0(k=1，2，…，N)的系统称为有限冲激响应系统，a_k不全为零的系统称为无限冲激响应系统。式中N 为差分方程的阶次，用N 阶差分方程描述的系统称为N 阶系统。

单输入单输出系统的表示方法称为输入输出表示法。多输入多输出系统则需要采用状态空间表示法（又称状态变量法，见电路的状态变量分析）。有时由于希望了解系统的内部情况，即使对单输入单输出系统也使用状态空间表示法。

一个多维离散系统可用多维差分方程来描述。例如，二维离散系统的数学模型为：

离散时间系统的分析是在系统的数学模型建立之后，用时域或变换域方法对给定系统的求解过程。而系统的综合则是指设计和构作一个系统，使之逼近预期的转移函数或单位冲激响应或给定的技术条件。

对于线性时不变离散时间系统的分析可分为时域分析和变换域分析。

（1）时域分析：根据系统的数学模型──差分方程或差分方程组和已知的输入信号在时域中直接求解系统的输出。例如，一个由差分方程

所描述的数字系统，χ(n)为一已知输入序列，y(n)的起始状态设为已知的y(-1)， 则这个系统的输出将为

这种算法是从y(-1)和χ(0)得出y(0)，再从y(0)及χ(1)得出y(1)，以此类推。这种算法称为递推算法。递推算法在计算机上进行数值计算是很方便的。因此它是时域中常用的算法之一。

数字系统的输出也可以用卷积的方法或求解状态变量的方法求得。在不少情况下时域分析的工作量是很大的。这就促使人们去寻找变换域的分析方法。

（2）变换域分析：将时域中的差分方程或方程组经过Z变换或傅里叶变换，把时域中的卷积运算或矩阵运算变为变换域中的乘法运算或矩阵运算，在变换域中求得结果之后，再经过逆变换得到时域中的结果。变换域分析所用的主要工具为Z变换、离散序列的傅里叶变换(见离散时间系统的傅里叶分析)、 离散傅里叶变换以及信号流图等。

系统的综合可以在时域中进行，也可以在变换域中进行。关于离散时间系统综合的问题见数字滤波器。

指数字网络用硬件（包括加法器、乘法器和延迟器等基本运算单元）实现时，各基本运算单元的组合和安排，或用软件实现时的算法。

由于离散时间系统可以用时域中的差分方程或变换域中的转移函数来描述，所以实现时所用的结构形式都是可以从差分方程或转移函数推导出来的。不同的结构形式使用的基本运算单元的数目常常不同。一般来说，希望实现一个离散时间系统所用的单元(尤其是乘法器)数尽可能的少，这样，一方面可以提高系统的经济性，一方面也可以缩短计算所用的时间。另外，还要考虑有限字长效应。所谓有限字长效应是指一个数在寄存器中只占有限位数所引起的效应。一个数字网络的性能（例如数字滤波器的滤波性能）在其系数和运算乘积用无限精度表示时是符合技术要求的，但在其系数和运算乘积用有限字长表示时，性能就可能变得不符合要求，甚至变成一个不稳定的系统。我们实现离散时间系统时总希望寻找对有效字长敏感度低的结构形式，即离散时间系统的性能对信号和系数的量化及运算乘积的位数有限不敏感。

离散时间系统的结构基本上分为无限冲激响应系统结构和有限冲激响应系统结构。 式(3)中给出描述离散时间系统的差分方程。对式(3)进行Z变换，可得离散时间系统的转移函数（见离散时间系统的复频域分析）

(4)a_k(k=1，2，…，N)不全为零的系统为无限冲激响应系统。这种系统的输出不仅取决于现在和过去的输入，而且还取决于过去的输出。无限冲激响应系统的结构常用的有3种形式。

（1）直接实现型:它虽然可从式(4)直接得出，但当阶次N 较高时，系统对有限字长效应的敏感度高，故一般不采用。

（2）级联实现型:即把式(4)的分母分子多项式都分解为因式，从而得到子系统转移函数的相乘，即

（3）并联实现型：把式(4)所示的有理式展开为部分分式，以其中的每一项作为一个子系统的转移函数，从而得到H(z)等于各子系统转移函数之和，即

式中a_k=0(k=1，2，…，N)的系统为有限冲激响应系统，这种系统的输出只取决于现在和过去的输入。有限冲激响应系统的结构常用的有直接型、级联型、线性相位系统型及频率抽样结构型等。

离散时间系统是一个输入信号和输出信号都是离散序列的系统。在实际使用中进行计算和变换都必须是有限字长的，所以实际的离散时间系统大部分是用于数字信号处理的数字系统。数字系统常用于一维和二维数字滤波、图像处理和信号序列的各种变换，以及用于抽样数据控制系统。自20世纪50年代以来，数字信号处理技术得到迅速发展，尤其60年代中期以后，由于电子计算机、大规模集成电路和各种离散序列的快速算法的飞速发展，数字系统的发展迅猛异常。现在它已广泛用于生物医学工程、石油勘探、核试验监测、语音通信、数据通信、核物理、数字图像处理、遥感技术等。同时在控制领域中也广泛地采用了数字系统。数字系统的性能优越，计算精度高，出错机会少，可靠性好。它既可用硬件实现，又可用软件实现，所以实现起来很灵活。数字系统能分时复用，所以经济上也常常是合理的。数字系统可以作成自适应的，系统中的参数可根据需要而自动随时调整，使系统得出最佳的结果。因此，数字系统的应用已经渗透到各个学科和各个部门。

参考书目

1. A.V.Oppenheim， A.S.Willsky　with　Ian　T.Young， Signals and Systems，Prentice-Hall Inc.，Englewood Cliffs，New Jersey，1983.
2. 郑君里、杨为理、应启珩著：《信号与系统》，人民教育出版社，北京，1982。