同态信号处理

[拼音]：tongtai xinhao chuli

[外文]：homomorphic signal processing

在信号处理中，往往需要从带有噪声的信号中提取原始信号。一般是用滤波处理方法来滤除或削弱噪声干扰以及其他不需要的信号。对于迭加性组合信号可以用线性滤波器将它们分离开。在实际应用中，还经常碰到不属于迭加性组合的信号，如乘积性信号和褶积性信号，靠线性滤波器来分离或处理这些信号分量无法达到预期的效果，这时最好采用非线性滤波。有一类特殊的非线性系统，服从广义的迭加原理。在代数运算上，这类系统可以用输入和输出的矢量空间之间的线性变换来表征，因而称为同态系统。用这类系统进行信号处理，就称为同态信号处理。在语音、图像、雷达、声呐、地震勘探以及生物医学工程等领域中，同态信号处理获得广泛的应用。

同态系统服从广义迭加原理

用符号 T［·］表示系统变换，用“囗”表示输入信号的组成分量的广义迭加，用“:“表示输入信号矢量与标量C之间的一种广义乘法运算，用“○”和“”分别表示输出信号的组成分量的广义相加和标乘的运算，于是这类同态系统可以用三个子系统D_□相级联组成(图1)。其中第一个子系统D_□具有如下性质：D_□[x₁(n)□x₂(n)]＝D_□[x₁(n)]+D_□[x₂(n)]＝憫₁(n)+憫₂(n)D_□[C:x₁(n)]＝CD_□[x₁(n)]＝C憫₁(n)

可见，子系统D_□服从广义迭加原理，其输入运算是“囗”，输出运算是“＋”。子系统D_□的作用是将由信号分量按运算法则“囗”组合起来的信号变换成按常规线性相加的信号分量D_□[x₁(n)]和D_□[x₂(n)]。因此，D_□是一个同态系统。

系统L是一个普通的线性系统，于是有L[憫₁(n)+憫₂(n)]＝L[憫₁(n)]+L[憫₂(n)]＝尳₁(n)+尳₂(n)L[C憫₁(n)]＝CL[憫₁(n)]＝C尳₁(n)

最后一个子系统 D劸是将系统L的输出按运算规则“○”进行逆运算变换为系统输出，有D劸[尳₁(n)+尳₂(n)]＝D劸[尳₁(n)]+D劸[尳₂(n)]＝y₁(n)+y₂(n)D劸[C尳(n)]＝CD劸[尳(n)]＝C尳(n)由于子系统D_□是按运算“囗”和“:“确定的一种特征系统，因此称为对运算“囗”的特征系统。同样，D₀是对运算“○“的特征系统。显然，具有相同运算规则的第一子系统和第三子系统的所有同态系统，只是其线性系统部分有所不同。换言之，特征系统确定之后，剩下的就是线性滤波问题了。例如，要从信号x(n)＝x₁(n)□x₂(n)中恢复出有用信号x₁(n)，首先就要找出一个特征系统D_□，它能把x(n)变为D_□[x(n)]＝D_□[x₁(n)]+D_□[x₂(n)]＝憫₁(n)+憫₂(n)

然后，适当选择和设计线性系统L， 只让D_□[x(n)]中的憫₁(n)＝D_□[n₁(n)]分量通过，理想的情况是尳(n)＝憫₁(n)＝D_□[x₁(n)]

然后，取D₀＝D_□，得到逆特征系统的输出为y(n)＝D劸[尳(n)]＝D劸｛D_□[x₁(n)]｝＝x₁(n)

因此，为了分离x₁(n)和x₂(n)，必须用一个线性滤波器L来完全分离x₁(n)和x₂(n)。理想的分离取决于运算法则“囗”以及输入信号分量x₁(n)和x₂(n)的性质。

同态滤波处理系统

在输入和输出运算相同的情况下，同态系统可分为相乘信号的同态滤波处理和褶积信号的同态滤波处理两种。

相乘信号的同态滤波处理

在许多实际问题中，信号为两个或多个分量的乘积。例如，在有衰落的传输信道中，衰落效应可以看作是一个缓变分量和传输信号相乘。又如，调幅信号可表示为载频信号与包络函数的乘积，在接收机内需要分离载波和包络。在这一类相乘信号中，用线性系统来分离信号各成分或单独地改善某一信号成分往往是无效的。但利用相乘信号的同态滤波处理，就可以取得较好的滤波效果。

假设信号，且对所有n值，和x₂(n)＞0，则有log[x₁(n)·x₂(n)]＝log｛x₁(n)+log[x₂(n)]｝

但是，输入信号x(n)不一定是正的，而且往往是复数信号。这时，就要用到复对数函数，于是输入和输出均为乘法的同态系统，如图2所示，其中序列x(n)、憫(n)、尳(n)及y(n)一般均为复数。

令x(n)＝|x(n)|exp｛jarg[x(n)]｝表示一个复数序列，则x(n)的复对数为log[x(n)]＝log|x(n)|+jarg[x(n)]复对数log[x(n)]

的逆是复指数，即y(n)＝exp｛log[x(n)]｝＝exp[log|x(n)|]·exp｛jarg[x(n)]｝

复对数的虚部arg[x(n)]加上2π的任意整数倍，并不改变上式的结果。因此，如果不另加限制，复对数并不是唯一性变换，会出现多值性问题。为此，必须选择能消除模糊的arg[x(n)]。但是系统log[x(n)]服从广义迭加原理，x(n)＝x₁(n)x₂(n)必须存在下列关系log|x(n)|＝log|x₁(n)|+log|x₂(n)|arg[x(n)]＝arg[x₁(n)]+arg[x₂(n)]

只要保证上述相角关系成立，就能消除arg[x(n)]中的模糊。

褶积信号的同态滤波处理

在多径或混响环境中进行通信、定位或记录，产生失真的效果可以看成是干扰与所需信号的褶积。在语音信号处理中，经常要分离激励源与声道冲激响应，至少在一段短时间内可以认为语音波形是由两者的褶积构成的。地震记录数据是地震子波与含有岩层结构信息的反射系数序列的褶积组合。离散褶积组合信号可以表示为x(n)＝x₁(n)*x₂(n)

利用同态滤波处理可以解褶积（图3）。特征系统D_*具有如下性质：D_*[x₁(n)*x₂(n)]＝D_*[x₁(n)]+D_*[x₂(n)]＝憫₁(n)+憫₂(n)D_*[C:x(n)]＝CD_*[x(n)]＝C憫(n)

系统L是一个线性系统，D_*^-1是D_*的逆系统。

褶积的Z变换是x(Z)＝x₁(Z)x₂(Z)

即Z变换运算也可以看作是一个系统，它的输入运算为褶积，输出运算是乘法的同态变换。因此，利用Z变换就能把褶积组合变换成乘法组合，从而可以利用上述乘法同态滤波系统来处理。但是，通常函数x(Z)是个复数，故不得不采用复对数运算。

参考书目

1. 何振亚著：《数字信号处理的理论与应用》，人民邮电出版社，北京，1983。