耦合模理论

[拼音]：ouhemo lilun

[外文]：coupled-mode theory

研究两个或多个电磁波模式间耦合的一般规律的理论，又称耦合波理论。广义地说，它是研究两个或多个波动之间耦合的普遍理论。耦合可以发生在同一波导（或腔体）中不同的电磁波模式之间，也可以发生在不同波导（或腔体）的电磁波模式之间。通常，耦合发生在同一类波动之间，但也可以发生在不同类型的波动之间，例如行波管中的两个电磁波模式与两个空间电荷模式之间的耦合。

发展概况

J.R.皮尔斯在40年代研究微波电子管时首先提出耦合模概念，随后S.E.米勒和S.A.谢昆诺夫发展了这一概念，并初步建立了波导模式耦合的基本理论。在50～60年代，耦合模理论已成功地用于分析参量放大器、多模圆波导传输和各向导性媒质填充波导等问题，中国科学家黄宏嘉提出耦合本地简正模的广义理论，深化了耦合模概念并简化了分析方法。70年代以来，耦合模理论又成功地应用于光波导问题，对光纤通信和光纤传感有重要的实际意义。

耦合模方程

描述各耦合模幅度关系的一阶常微分方程组

　　　　 (1)

式中A_i为耦合系统中第i个模的幅度;在耦合传输线问题中K_ij＝jβ_i，在耦合振荡问题中K_ij＝jω_i，β_i和ω_i分别为模式i的相移常数和振荡频率;K_ij(i厵j)为耦合系数，在传输线问题中是空间坐标z的函数，在振荡问题中是时间t的函数，是单位耦合长度或单位时间内由单位幅度的模j所激发的模i的幅度。将方程组 (1)写成矩阵形式

　　　　　　　　　(1a)

式中A为列矩阵，k为耦合系数方阵。

耦合模方程的解

根据耦合系数和边界条件的具体情况得出。耦合能力Q_ij表示模式i和j之间的耦合强弱。对于非周期性耦合

　　　　　 (2)

弱耦合情况

指任何i、j(i厵j)都符合条件Q_ij1　　　　　　　　　 (3)

设只有单位幅度的模式1输入的耦合系统，即有边界条件A₁(0)＝1　　　A_i(0)＝0　　 (i厵1)　　(4)

则在z=L处的近似解为

　(5)

可见，即使存在多个模之间的耦合，仍可以分别考虑每一个模与输入模之间的耦合，从而使问题简化。

强耦合情况

通常，强耦合只发生在两个耦合模式(如1和2)之间，忽略其他耦合模，可将式(1)简化为

　　　　　(6)

设只有模式1输入耦合系统，且β₁＝β₂＝β(即Q₁₂→∞)和K₁₂＝K₂₁＝－jc都是常数，则式(6)的解为

　　　　　　　(7)

图1给出|A₁|和|A₂|随坐标z的变化的曲线，其中实线表示β₁=β₂情况下的解式(7)，说明两种模式之间可以实现能量的完全转换；虚线表示常耦合和β₁厵β₂情况下的解，可见，这时不可能实现能量的完全转换。

在周期性耦合情况下，耦合能力为

　　　(8)

适当选择周期λ₁，即使在K_ii厵K_jj的情况下也可能使→∞，实现模式间能量的完全转换。

耦合模方程的不同形式

为了导出耦合模方程，需要将麦克斯韦方程中的场按正交函数集展开，采用不同的正交函数集能得到不同的耦合模方程。例如，波导中的正交函数集对应于其全部电磁波模式（对于开波导还应包括辐射模）。凡沿波导独立传输而不存在耦合的都称为简正模，耦合模则是非简正模。不均匀波导中的电磁波可以按参考波导中的简正模集展开，选择不同的参考波导，对应有不同的简正模集，得到不同的耦合模方程。

以变截面波导为例(图2)，用虚线表示不同截面位置处的三种参考波导所分别对应的三组简正模：理想模、本地模和超本地模。与理想模对应的参考波导是均匀波导，其截面形状和大小与实际波导输入端处一致；与本地模对应的参考波导是截面形状和大小与观察点处实际波导相一致的均匀波导；与超本地模对应的参考波导是形状与观察点处实际波导一致、且两者纵剖面边界线相切的喇叭形波导。后两组模式随观察点位置而改变，其模式特性主要由“本地”特性决定。

耦合功率理论

耦合模方程式 (1)在系统平均下可转化为耦合功率方程，由此出发研究长距离导波结构中各种随机不均匀性对传输特性的影响。这一理论可用来解决多模光纤传输问题。

参考书目

1. 黄宏嘉：《微波原理》卷Ⅰ，Ⅱ，科学出版社，北京，1963。
2. W.H.卢瑟著，苏禾译：《耦合模与参量电子学》，上海科学技术出版社，上海，1964。(W.H.Louisell，Coupled Mode and Parametric Electronics，John Wiley & Sons Inc.，New York，1960.)