[拼音]:tongdiao daishu [外文]:homological algebra 代数学的一个非常重要的分支,是由美国的数学家与欧洲的数学家在20世纪40年代彼此独立而几乎同时开始发展起来的。同调代数源出于代数拓扑学,因而它仍保留着一些代数拓扑学中所用的术语,如循环(闲链)、边缘(边缘链)等等,而代数拓扑学本来就是把几何概念转换成代数概念的一种理论。 代数拓扑学中的同调群概念与同调代数有密切联系。在n维欧氏空间En中适当取q+1个点α0,α1,…,αq,q≤n,它们将张成一个q维超平面。取 ![]() 这里的±号是按照某种定向规则而确定的,于是得到一个链复形
且嬠q-1嬠q=0,所以Im嬠q吇Ker嬠q-1(Im嬠是嬠的像,Ker嬠是嬠的核),这时,商群Hq=Ker嬠q/Im嬠q+1称为C的第q个同调群,同调群的理论集中地反映出复形的有关其边缘的几何性质。“同调”一词源出希腊文,意指“和谐”或“一致”。 代数学家不考虑上述同调理论中的几何意义,直接讨论式(1),研究其同调群,式中的Ci已不仅是一些交换群,而是环上的模。同调代数的理论已经变成研究环、一般代数、李代数与群的一种不可缺少的有力工具。 以下述及的环U与B都有单位元,模都是酉模,且一般是左U模。左U模范畴记作 范畴
式中An都是U模,嬠n是模同态,而且嬠n-1嬠n=0, Ker嬠n称为n循环,lm嬠n+1称为n边缘。于是Im嬠n+1吇Ker嬠n,定义 假定(B,d)也是一个复形, 设有模同态ƒn:An→Bn,使下图可交换 ![]() 则ƒ={ƒn}称为由(A,嬠)到(B,d)的一个复形映射。于是,以所有的U模的复形为对象,以复形映射为态射,则得一个阿贝尔范畴,称为复形范畴,记为Ucm。由于 固定任一整数n,每一个复形(A,嬠)将对应其第n个同调模Hn(A,嬠),而复形映射ƒ:(A,嬠→(B,d)将引出同调映射ƒ 复形的短正合列
其中各行均为复形, 各列均为短正合列, 有连接映射(模同态) ![]() 与上述同调相对偶的是上同调。设An为U模,则
称为上复形,式中嬠n嬠n-1=0,而商模 正合列
当p0,p1,p2,…,pn,…都是投射模时,称为A的投射分解。由于每一个U模都是一个投射模的同态像,所以,每一个U模A都有投射分解。如果(5)中存在一个最小的n,使Im嬠n为投射模,那么,尽管A的投射分解并不惟一(可能有其他的投射分解),这个n却是不变的,称为A的投射维数, 记为PdA=n。如果每一个lm嬠n都不投射,那么PdA=∞。于是,PdA=0的意思就是A为投射模;若PdA=1,则A可分解成两个投射模之商,A=p0/p1;若PdA=2,则A是三个投射模之商,A=p0/p1/p2,…。 范畴 与上述投射分解相对偶,正合列
当I0,I1,…都是内射模时,称为A的内射分解。由于每一个A都可嵌入到一个内射模内,所以A的内射分解一定存在。同样可定义A 的内射维数IdA。在 设T是一个自 取A与B均为U模,ƒ:A→B为模同态,(p,嬠)与(Q,d)分别为A与B的投射分解,则有复形映射{ƒn}使有交换图 ![]() 于是有交换图
这里两行都是B模的复形,它们的第 n个同调模,将表以 若改用A的内射分解,则用同样的方法可得到T的右导出函子RnT,它是一个共变函子。 如果 F是一个逆变加法函子,那么取 A的投射分解(p,嬠),就得上复形(Fp,F嬠),其第n个上同调模将记为RnF(A),因而可由F导出的右导出函子RnF,它是一个逆变函子。 若对所有的n>0恒有LnTA=0,则A称为一个左T-零调模。零调模在谱序列的理论中非常重要。 函子圱与Tor取M为右U模,对任一个左U模,定义 同样,让A固定,则得函子-圱A,由其导出的第n个导出函子为Torn(-,A),所以Torn(-,-)实际上是一种双函子,它对两个变量(让其一固定,另一个变动)都是共变加法函子。 符号Tor是英文Torsion一字的前三个字母,它的意思是“挠性质”。假定U是一个整环(无零因子的交换环),而A是一个U模,让tA={α∈A│有某一非零α∈U,使αα=0},于是tA是A的一个子模,称为A的挠子模。让A对应tA即得 固定一个左U模x,对于任一个左U模A,定义 FA=HomU(A,x),并对ƒ:A→B,定义F(ƒ):Hom(B,x)→Hom(A,x),使在σ∈Hom(B,x)时有交换图(7)。
F(ƒ)(σ)=σF,于是,F是一个由 如果让A固定,令TX=Hom(A,x),并对g:x→Y,定义T(g):Hom(A,x)→Hom(A,Y),使T(g)(τ)=gτ如交换图(8),则T为
与Tor的情况类似,Ext是英文 Extension一字的前三个字母组成的符号,其意为“扩张”。设x与A都是U模,E称为x由A的一个模扩张,是指有短正合列0→x→E→A→0。两个扩张E与E┡称为等价的,意指有φ:E→E┡使下图可交换 ![]() 这里的φ必是一个模同构,因而上述等价性是一种等价关系,以e(x,A)表所有等价类之集合,可以证明,e(x,A)与Ext1(A,x)是一一对应的。所以可认定e(x,A)就是Ext1(A,x)。 群的同调与上同调设G为乘法群,Z表整数环,以G的所有的元素为生成元素可得一个加法自由群ZG,因此ZG 中每一个元素都惟一地表成 当A为G模时, ![]() 这里的 各种群的 Hn与Hn的计算与理论是同调代数与群论中的重要研究课题。 谱序列它是同调代数中的一个重要的理论,也是一种研究同调模的重要方法。 设A是一个U模,若有模自同态d:A→A使B=Imd吇Z=Ker d,即dd=0,则(A,d)称为一个微分模,d是其微分,而商模Z/B是(A,d)的同调模H(A,d)。与复形的情况类似,B为d的边缘,而Z为d的循环。微分模的序列{Ar,dr}(r≥1 是整数)称为一个谱序列,是指对每一个r都有 在同调代数中常用到的谱序列实际上是由双分次模所组成的,所谓双分次模,就是一些模Epq的集合,p与q都是整数。设E与D都是双分次模,且有整数对(α,b)),使对任何p、q都有一个模同态 用过滤的办法,可以从一个复形(A,嬠)得到一个很有用处的谱序列。假定对每一个p∈Z,FpA都是A的一个子复形,并且有
则F称为复形(A,嬠)的一个过滤。于是,对任何p就有一个复形的短正合列 ![]()
让
式(9)就可改写为
这里α,β,γ是有次数(1,-1),(0,0)与(-1,0)的映射。以E1表示双分次模{Epq},并取
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