[拼音]:tuoyuanxing pianweifen fangcheng [外文]:partial differential equation of elliptic type 简称椭圆型方程,一类重要的偏微分方程。早在1900年D.希尔伯特提的著名的23个问题中,就有三个问题(第19、20、23问题)是关于椭圆型方程与变分法的。八十多年来,椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果。椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有应用。拉普拉斯方程是椭圆型方程最典型的特例。 拉普拉斯方程许多定常的物理过程,如稳定的热传导过程、牛顿引力理论及电磁理论中的位势、弹性薄膜的平衡、不可压流体的定常运动等,提出形如
的方程,称之为拉普拉斯方程,以及泊松方程
式中ρ一般有密度的意义。 容易得到方程(1)和(2)的一些特解。由于方程是线性的,因此可以由已知的一些特解叠加而得到新的解。积分也是一种叠加。通过积分型叠加,便可得到方程(1)的如下的重要解:
式中S为一曲面,μ为定义在S上的连续函数。由(3)确定的函数u在S以外的地方满足方程(1)。 非齐次方程(2)有一个重要的特解,它就是以ρ为密度的体位势:
只要ρ在域Ω内有界且连续可微,由(4)确定的函数u在Ω内就满足方程(2),而在Ω外则满足方程(1)。 在应用上,往往不是求一些特解,而是求满足某些附加条件的解。例如,第一边值问题(狄利克雷问题): 这些边值问题的解的惟一性,由调和函数的一个极值性质很容易推出。拉普拉斯方程的二次连续可微解,称为调和函数。 极值原理域Ω内的调和函数不可能在域内一点取极大值或极小值,除非这个调和函数恒等于常数。若调和函数的最大值只在某一边界点 p上达到,则 这些边值问题的解的存在性,也不难证明。由格林公式可以推得
从而有 ![]() 式中
![]()
式中Q1是向径OQ的延长线上的一个点,它使
所示)。点Q1为点Q关于球面S=嬠K的反演点。将G(p,Q)代入(6)即得到泊松公式: ![]() 它所确定的函数 u(Q)就是拉普拉斯方程关于球域K的第一边值问题的解。 利用泊松公式和极值原理,可以推出调和函数的一系列基本性质,如平均值公式 公式(5)中出现的积分
由于这一积分方程是齐次的,除平凡解外无其他连续解,因此,按弗雷德霍姆定理,该方程对任何φ恒可解。这样,以这个解为密度的双层位势便给出了第一边值问题的解。利用单层位势和弗雷德霍姆定理,同样可以证明第二边值问题的可解性。上述积分方程法虽然能统一地处理第一边值问题和第二边值问题,但是对域的边界要求过严,如要求它是鲁古诺夫曲面。 关于第一边值问题的解的存在性论证有许多更一般,的方法,如庞加莱-佩隆方法、施瓦兹交替法、差分法等。 第一边值问题,还可用变分法求解。古典的变分法理论指出,如果函数u=
取极值,则当 形如 ![]() 的方程,若(αij(x))为正定的矩阵,则称为椭圆型的;若(αij(x)) 的最大特征值与最小特征值之比有界,则方程(8)称为一致椭圆型的。经常考虑的是方程(8)的如下三种边值问题;①第一边值问题(狄利克雷问题),其边界条件为 (2)第二边值问题(诺伊曼问题),其边界条件为 (3)第三边值问题(混合问题),其边界条件为 二阶椭圆型方程的研究甚早,在50年代以前,对方程(8) 的一些基本边值问题的可解性就获得某些成果。在几十年的发展中,建立了各种解法,例如,绍德尔方法、泛函方法、差分法、变分法、积分方程法,等等。 绍德尔方法是建立在绍德尔估计之上的。设 Ck+α表示k次连续可微且k阶微商α 赫德尔连续的函数类,又设Ω是Rn中的C2+α区域,方程(8)的所有系数和自由项都属于Cα。所谓绍德尔估计,是指若方程(8)在Ω中有解u,并且 ![]() 式中с是一个与方程(8)和区域有关的常数。 在上述假设下,由泊松方程具有 泛函方法肇端于K.O.弗里德里希斯1934年关于对称椭圆算子半有界扩张的工作。H.外尔,C.Л.索伯列夫、C.Γ.米赫林和М.И.维希克等人在40年代末期的进一步研究表明,解椭圆型方程的基本边值问题等价于解形如x+AX=ƒ的算子方程,其中A是希尔伯特空间的全连续算子。从而由泛函分析的里斯-绍德尔理论得到椭圆型方程可解性的所谓“二择一原理”。 近几十年来椭圆型方程的重大进展之一,是解拟线性椭圆型方程
通常用勒雷-绍德尔不动点原理。 设B是巴拿赫空间,T是从B×[0,1]到B的一个完全连续映射,对所有x∈B,使得T(x,0)=0。若存在M,使得对满足x=T(x,t)的所有(x,t)∈B×[0,1],有 考虑问题簇 ![]() 式中Q1=α,Qt对所有t∈[0,1]都是椭圆的。定义u=T(υ,t)是线性狄利克雷问题 ![]() 的惟一解。于是可以看出,方程(9)的狄利克雷问题的解u就是T(υ,1)的不动点。通常取B为C1+β,0<β<1。对系数加以适当限制就可使得T满足勒雷-绍德尔原理的要求,于是方程(9)的狄利克雷问题就化为求问题簇的C1+β(捙)解的先验估计 形如下面的方程组
对于如此广泛的方程组,有些人例如,L.赫尔曼德尔讨论过它的一般边值问题: ![]() 此处 这样的边值问题,一般经典的弗雷德霍姆备择定理不成立。维希克和L.尼伦伯格等人提出了一个子类,称之为强椭圆组,对于它的某些基本边值问题,弗雷德霍姆备择定理是成立的。 近年来,研究在流形上定义的椭圆算子的一大成就是阿蒂亚-辛格指标定理。 |