常微分方程变换群理论

[拼音]：changweifen fangcheng bianhuanqun lilun

[外文]：transformation group theory in ordinary differential equation

研究将常微分方程的解仍变为解的变换所组成的群的理论，由德国数学家M.S.李于19世纪末叶所开创。

设动力体系为

或

(1)

它的满足初值条件t= 0，x₁(0)=x，y₁(0)=y 的解为

(2)

把它看成是将(x，y)平面变到它自己（把点(x，y)变为点(x₁，y₁)的一个依赖于参数t 的变换。假设t可以连续地取一切实数值，则有无限多个变换，它们构成一个连续群，称为由(1)所确定的变换群；称

(3)

为对应的无穷小变换。易见(2)由(3)惟一确定。反之，当｜t｜很小时若把(2)按t的幂展开：

　　　 　(4)

就知道(3)也是由(2)惟一确定的。

设方程

(5)

在变换群(2)之下不变(从而它的积分曲线族也不变)，则有

　　　　　　　 (6)

这里

　 (7)

由(6)可得ζ，η，F应满足方程

(8)

η＝Fζ总是(8)的解，换言之，由(1)消去dt所得的方程在群(2)之下总是不变的。

利用(8)，对已给的 ζ、η，亦即已给的群 (2)，可以决定最一般的F（x，y），使方程(5)在群(2)之下不变。当 ζ、η、F一起满足(8)时，若令 则 (8)便可改写为

　　　 　　 (9)

这表示μ是方程dy-F(x，y)dx=0即（5）的一个积分因子，亦即μdy-μF(x，y)dx=0是全微分方程（李的定理）， 从而使求解问题化为求积分。

特别，在平移群x₁=x+t，y₁=y（此时ζ=1，η=0，由(8)可解出F=ƒ(y))之下为不变的方程(5)取

的形式，其通解x=φ(y)+C在此群之下不变是明显的。

在均匀放大群x₁=kx，y₁=ky(令k=e^t即见ζ=x，η=y)之下为不变的方程(5)是齐次方程这一事实由齐次方程通解具有形式 也可清楚地看出。又由(9)知此时上述齐次方程有积分因子

这和初等常微分方程中所得到的结论是完全一致的。

利用这种方法就可看出，许多方程之所以能用初等积分法求解，都是因为使它们不变的变换群(2)是一些易于求解的方程(1)的解。

从理论上讲，(1)的通积分可表为

(10)

其中第一个积分是由(1)的第一个等式 积分而得，故不含 t。设 t=0对应于由(10)所确定的变换群的恒等变换，即知变量代换u=G₁(x，y)，υ=G₂(x，y)能把群(10)化为平移群

在新变量u，υ及 ζ呏1，η呏0之下，(8)式成为从而方程(5)也就成为可积方程

因此，如果对于已给的方程(5)能找到使它不变的变换群(2)，就可以取(1)的前一个首次积分中的G₁(x，y)=u以代替y而使(5)成为可积方程。例如方程

(11)

在群x₁＝τx，之下不变。 令τ＝e^t可知x₁＝xe^t，y₁＝ye^-t是的解。而此方程有一首次积分为xy=C，亦即xy是变换x₁=τx，y₁=y/τ之下的不变量。取u=xy为新的未知函数以代y，则(11)便化为可以分离变量的方程xuu┡=u²-3u+2。

以上的方法也可用于高阶方程的降阶，例如方程

(12)

在群x₁=e^tx，y₁=e^_2-2ty之下不变，而后者是

的解。此方程有一首次积分为x²y=C，今取u=x²y以代替y，取υ=lnx以代替x，再记则(12)被化为第二类阿贝尔方程 它显然可化为线性方程求积而得再积分，最后可得(12)的通解为

用变换群理论求解常微分方程的方法至今还有新的应用，在J.M.希尔的《用单参数群求解微分方程》一书中有许多用变换群的方法求解各种方程的例子。

此外，值得一提的是M.S.李、(C.-)É.皮卡等将变换群理论用于线性变系数齐次方程

研究它的基本解组在经受含参数的线性变换时所构成的变换群的不可解性，得到与伽罗瓦理论完全平行的结论，因而从另一完全不同的途径得证：n(≥2)阶线性变系数方程一般是不能用初等积分法求解的。

参考书目

1. J. M. Hill， Solution of Differential Equations by Means of One Parameter Groups，Research Notes in Math.， 63， 1982.