[拼音]:chudeng changweifen fangcheng [外文]:elementary ordinary differential equation 能用微积分的方法求出其通解或通积分的常微分方程。常微分方程的通解,粗略地说就是: (1)它把未知函数y表示为自变量x的显函数的形式y=φ(x),此函数满足该微分方程。 (2)在此表达式中含有一些任意常数,其个数恰等于方程的阶数。当这些常数任意变动时即能得到方程的所有解,除了少数解是例外。 (3)表达式适用于全空间,或至少不是局部的而是大范围的。如果在这定义中不要求①成立,即在所得的表达式中未知函数可能是自变量的隐函数形式φ(x,y)=0,则称此表达式为通积分。通解(或通积分)的严格定义,实际上就是进一步把条件②的后半部作严格的叙述,即要求:对于该表达式所适用的区域中任意给定的初始条件,必能找到任意常数的一组确定的值,使得这组值所对应的解(或积分)能够满足这个初始条件。 出现于方程中的变量x、y可以是实变量,也可以是复变量。一个解y=φ(x)或积分φ(x,y)=0在(x,y)空间中的轨迹称为方程的积分曲线。当(x,y)为实数时,积分曲线就是(x,y)平面上的曲线。当(x,y)为复数(x=x1+ix2,y=y1+iy2)时,积分曲线是四维实空间(x1,x2,y1,y2)中的二维曲面。通解或通积分的轨迹称为积分曲线族。要求一个解或积分满足已给的初始条件,就是要求由它所确定的积分曲线通过预先给定的一点。 下面根据方程形式的不同,或阶数与个数的不同,分别作简要的介绍: 可分离变量的方程形如
的一阶方程称为可分离变量的方程,当 ƒ2(y)g1(x)≠0时,(1)可化为变量已分离的方程 ![]() 两边求积分,即得通积分
式中C为任意常数。如能由(2)解出
则称之为(1)的通解。(2)或 (3)满足上述对通解或通积分要求。除此以外,还必须再补上使ƒ2(y)=0的一个或多个的常数解y呏yi,以及使g1(x)=0的常数解x呏xj,这些常数解有时能由(2)中令C=0 或1/C=0得到,有时则不能。例如,在用分离变量法求解方程 有些看上去是不能分离变量的方程,通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解。最常遇到的是齐次常微分方程
它可借代换y=ux而化为 ![]() 这里应注意,一般讲,x=0并非(4)的解。还有一些方程,例如,方程 形如
的方程称为一阶线性方程,其中P(x)、Q(x)为已知函数。在分离变量法中,x、y被平等地看待,而方程(5)仅当把x看成自变量、y看成未知函数时它才称为线性方程,理由是此方程对于y与y┡的总体来说是线性的。称
为对应的齐次线性方程,它有通解
式中C 为任意常数。又(6)的满足初始条件y(x0)=y0的特解是
对于(5),可以求它的形如(7)的通解
但其中C(x)是x的待定的函数。(9)式实际上也是一种变量代换。由此即可求出C(x),从而得到(5)的通解为
式中C1为任意常数。又(5)的满足初值条件y(x0)=y0的特解是
以上这种解法称为常数变易法,它同样适用于线性方程组和线性高阶方程。即使对无法求出通解的非线性方程,常数变易公式(类似于(11)式)在理论研究上也是十分有用的。 有些微分方程可以通过变量代换而化为一阶线性方程。最常见的是伯努利方程
所用的变量代换是z=y 在常微分方程的发展史上,黎卡提方程
有着特殊的重要性。J.F.黎卡提本人研究了(13)的特例
证明若α=4k/(1±2k),(k=0,1,2,…),则(13)总可通过变量代换而化为可分离变量的方程。方程(13)还有一些其他的可积类型。但是早在1841年J.刘维尔就证明了:当α≠4k/(1±2k),(14)不能用初等积分法求有限形式的通解,因此,对于一般的(13),不能用有限次的初等运算求其通解。如果已知(13)的一个特解y1(x),则借代换y=y1(x)+z可以化(13)为伯努利方程,由此可导出(13)的通解是任意常数的分式线性函数。又若已知(13)的三个特解y1,y2,y3,则通解可由 ![]() 给出;从而(13)的任意四个特解的交比恒等于常数。 复变量的黎卡提方程在常微分方程解析理论中也有它的重要性,因为它是只可能有动极点而无动支点的方程,此外,它还和微分几何学与复变函数论中的一些重要问题有密切关系。 熟知的可积类型还有: (1)雅可比方程 ![]() 它至少有一直线解u1x+u2y+u3=0,而经变量代换 ![]() 则可化为x┡,y┡的齐次方程。 (2)达布方程
式中ƒi(x,y)都是x、y的多项式,其最高次数为m。当有 (3)第一类阿贝尔方程 ![]() 和第二类阿贝尔方程 ![]() 它们也有不少情况是可积的。E.卡姆克在他的《微分方程──解法和解》(第 1卷中译本名为《常微分方程手册》,1977)一书中列举了这些情况。秦元勋指出,其中有一半以上的可积一阶方程其通积分都具有(通常称为达布积分)
的第一类显易解结构及形如 ![]() 的第二类显易解结构。 恰当方程与积分因子满足条件
的微分方程
(19)称为恰当(微分)方程或全微分方程。(19)式左边可写为dU(x,y)的形式, U(x,y)可借沿特殊道路的线积分求出,而(19)的通积分是U(x,y)=C。但若M、N 的偏导数有不连续点时,则U(x,y)可能是多值函数。 当条件(18)不满足时,如果能找到函数 μ(x,y) 使 ![]() 或即
则方程μMdx+μNdy =0便成为恰当方程。称 μ(x,y)为(19)的积分因子。积分因子有无数个之多,当已知一个积分因子μ时,其他的积分因子便都可写成 μφ(U)的形式,因此μ1(x,y)/μ2(x,y)=C也是(19)的通积分。 (20)是关于μ(x,y)的一阶线性偏微分方程,求它的通解比求(19)的通解困难。但当M、N满足一定的条件时可以只求(20)的一个一元函数特解。例如,若
即(21)式左边的表达式与y无关,则这时(20)有解 ![]() 它就是(19)在条件(21)之下的积分因子。仿此,可以得出(19)有形如 μ(y), 易见方程(1)实际上是借积分因子 形如
的方程称为一阶隐方程。当x、y的值固定时,一般由(22)可以解出不止一个的y┡的值,这表示往往有多于一条的积分曲线经过(x,y)空间的一定点。特别,如果对于某一曲线Г上的每一点(x,y),由(22)式解得的y┡都有重根,并且Г本身也是(22)的积分曲线,则它往往就成为(22)的奇解。一般,Г也是(22)的积分曲线族的包络(有例外)。所以,求解隐方程(22)时经常在通解以外还可以得到奇解或包络。当求解由几何学所导出的隐方程时,目的往往是后者而非前者。 若(22)可就y┡解得若干个一阶显方程
又能求得(23)中每一方程的通积分为Gi(x,y,C)=0,则(22)的通积分是 ![]() 又若已知曲面F(x,y,z)=0有参数表示式: ![]() 则方程(22)等价于 ![]() 由此可得u、v的一阶显方程
若ω(u,v,C)=0是(24)的通积分,则x=ƒ(u,v),y=g(u,v),ω(u,v,C)=0是(22)的通积分。这种求解方法称为引入参数法。 在求解(22)时,常记y┡为p,且以p为参数来表达积分曲线族的方程。若由(22)可解得y=ƒ(x,p)或x=φ(y,p),取x、p(或y、p)为参数即可把(22)化成(24)的形式。又若(22)取特殊形式
则只要知道这种隐方程的参数表达式,由此导出的方程(24)必定是变量可分离的方程。 如果存在常数k,使(22)中的函数F能满足 ![]() 则(22)称为广义齐次方程。这时可令x=et,y=zekt,而化(22)为 一阶隐方程中,特别重要的是克莱罗方程
它的通解是y=Cx+φ(C),表示一族直线;而奇解恰好是此直线族的包络。方程(26)之所以重要是因为几何学中要找一条曲线,使它的任一切线都具有某种与切点无关的性质,则所得的正是形如(26)的方程,其中x、y为实变量。 有时对方程(22)可使用勒让德变换Χ=y┡, Y=xy┡-y将方程变形。此变换的逆变换也具有同样的形式: 对于方程(22),由F(x,y,p)=0及
其通积分为 一般形式为
这类方程中比较典型的可求通积分或可降阶的有以下几种: (1)y (2)y″=ƒ(y),此方程有明显的物理学意义。以 2dy乘之,积分,得: (3)F(x,y (4)F(y,y┡,…,y (5) F(x,y (6)若F 对 y,y┡,…,y (7)像一阶恰当方程一样,(28)有时也可表为 ![]() 的形式。积分一次,即可降阶为n-1阶方程,例如若
关于y″为线性,记 F(x,y,y┡,y″)=A(x,y,y┡)y″+B(x,y,y┡),视x、y为常数,将A对y┡积分,记其原函数为G(x,y,y┡),设 方程组
的初等积分法基本上依赖于前面讲过的两种方法的合并使用,即,①经过方程之间的组合以构成可积方程; (2)利用已经得到的积分(称为首次积分)来减少未知函数的个数。只要能得到n个独立的首次积分,它们合在一起就构成了(30)的通积分。为了实现①,往往把(30)改写成 ![]() 的形式,然后利用比例的性质得到分子与分母的有用的组合。例如对
由第一等式和前两个等式不难得到两个独立首次积分: ![]() 再用后一等式代入(31)的最后一项,令与第一项相等,又可积得 |