[拼音]:tufenxi [外文]:convex analysis 研究凸性的一门学科。它主要由凸集、(凸)多包形和凸函数三部分所组成。所谓凸集,是指一个集A,当x1和x2属于A则连接x1与x2的线段也属于A。若A是有限多个点x1,x2,…,xk+1的凸包,即 凸集理论主要包括:分离定理,即两个无公共内点的凸集必可为一平面分开;支撑定理,即过一凸集A的一边界点,必可作一平面使A全位于此平面之一侧;一凸集到另一凸集的连续映射的性质,例如布劳威尔不动点定理等。此外,关于各种锥的性质、若干个凸集作成的集合的组合性质等也是其研究的课题。 多包形理论主要是研究多包形的代数性质、组合性质和度量性质。代数性质是指有关多包形的维数、基、代数表达式等的情况;组合性质则指有关其顶点数ƒ0,边数ƒ1,面数ƒ2,…,ƒk(ƒi表示i维面的数目)之间的关系。例如在三维空间中的欧拉定理(ƒ0-ƒ1+ƒ2=2)即为一例。其基本问题之一是:什么样的k+1个正整数ƒ0,ƒ1,…,ƒk分别是一个k+1维多包形的顶点数、边数和面数? 凸函数理论主要包括有关凸函数的微分性质(导数、次梯度、次微分)和凸函数列的极限函数(若其存在)的性质,以及对偶性质等等。 虽然某些有关凸性的结果可追溯到18世纪中叶,但是近代的凸分析则在20世纪由H.闵科夫斯基、C.卡拉西奥多里等人创始的。他们对于多包形作了深入的研究,奠定了有关的基本理论。在20世纪中叶,由于最优化理论的发展,许多的基本理论问题皆涉及到凸性,使凸分析日益受到重视而深入发展。凸性、次梯度等在离散数学方面也受到注意。
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