欧几里得几何学

[拼音]：Oujilide jihexue

[外文]：Euclidean geometry

简称欧氏几何，主要是以欧几里得平行公理为基础的几何学。它的创始人是古代希腊的伟大数学家欧几里得。公元前7世纪左右，埃及的几何知识由希腊的自然哲学者泰勒斯传入希腊。希腊学者不仅发现了许多新的几何问题，而且开始把逻辑学的思想方法引进几何学，对几何问题进行了逻辑推理和证明，促进了几何学的发展。毕达哥拉斯学派研究了许多问题。例如，三角形的内角和、五种正多面体、黄金分割等，发现了比例中项定理，毕达哥拉斯定理。雅典学派的希波克拉底、柏拉图、欧多克索斯等人，对几何学的发展有很大的贡献，他们曾提出有名的希腊几何三大问题：任意角三等分问题、立方倍积问题、化圆为方问题，希波克拉底曾对一些几何定理作出证明，为几何的逻辑结构打下初步基础。柏拉图把逻辑思想引进几何学，使几何系统逐渐严格化。欧多克索斯的比例论和穷尽法是近代微积分思想的渊源。

希腊人积累的几何知识同逻辑思想结合起来，为几何的系统化、公理化以及欧几里得的《几何原本》的出现奠定了基础。欧几里得是希腊亚历山大学派的创始人，他按照逻辑系统把几何命题整理起来，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书问世以后的两千年中，一直被用作教科书。它被认为是学习几何知识和培养逻辑思维能力的典范教材，而且世界上大多数国家都有《几何原本》 的译本。中国最古的译本是明代徐光启译出的，“几何”一词就是他第一个使用的。《几何原本》除了有它的数学教育意义外，还有它的数学方法论的意义。欧几里得从一些定义、公理和公设出发，运用演绎推理的方法，从已得的命题逻辑地推出后面的命题，从而展开《几何原本》的全部几何内容。从当时的人类文化水平来看，这是一种很严谨的几何逻辑结构，欧几里得的这种逻辑地建立几何的尝试，成为现代公理法的源流。

《几何原本》全书共13卷，除其中第5、 第7、第8、第9和第10卷是讲述比例和算术理论外，其余各卷都是讲述几何内容的。第 1卷内容有平行线、三角形、平行四边形的定理；第2卷主要是毕达哥拉斯定理及其应用;第3卷讲述关于圆的定理；第4卷讨论圆的内接与外切多边形定理;第6卷内容是相似理论;最后3卷是立体几何。这些几乎包含了现在中学所学的平面几何、立体几何的全部内容。

正如欧几里得所阐述的，《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、公设、公理、定理组成的演绎推理系统。在第1卷开始他首先提出 23个定义，前6个定义是：

（1）点没有大小；

（2）线有长度没有宽度；

（3）线的界是点；

（4）直线上的点是同样放置的；

（5）面只有长度和宽度；

（6）面的界是线。在定义之后有5个公设：

（1）从任意点到另一点可以引直线；

（2）有限直线可以无限延长；

（3）以任意点为圆心，可用任意半径作圆；

（4）所有直角都相等；

（5）如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。其次，有5个公理：

（1）等于同量的量相等；

（2）等量加等量其和相等；

（3）等量减等量其差相等；

（4）可重合的图形全等；

（5）全体大于部分。在公理后面，欧几里得便证明各个命题，每个命题都要以公设、公理或它前面的命题作为证明的根据，按逻辑的相关性把它排列成命题1、2、3、…。这些命题实际上就是人们所说的“定理”。

欧几里得的《几何原本》，虽然在教育和科学意义上，在历史上受到很高的评价，但用现在的科学水平衡量，它的几何逻辑结构在严谨性上还存在很多缺点。首先，欧几里得的定义并不能成为一种数学定义，有的不过是几何对象点、线、面的一种直观描述，有的含混不清，这些定义在后面的论证中，实际上是无用的。其次，欧几里得的公设和公理，是远不够用的，因而在《几何原本》的许多命题的论证中，不得不借助直观，或者或明或暗地引用了用他的公设和公理无法证明的事实。特别要指出的是研究《几何原本》的许多学者都注意到欧几里得的第五公设比较复杂，看来很象定理。欧几里得之后的两千年很多学者都试图用其他公设和公理加以证明，但都失败。直到19世纪，C.F.高斯、H.И.罗巴切夫斯基、J.波尔约、（G.F.）B.黎曼等发现了非欧几何，才了解到欧几里得第五公设不是其余公设和公理的推论，不能用那些公设和公理来证明，而是一个独立的命题。

在欧几里得几何体系中，第五公设和“在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线平行”相等价，现在把后一命题称作欧几里得平行公理。它体现了“欧几里得几何”与“非欧几里得几何”的区别。

19世纪末期，德国数学家D.希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，这就是所谓希尔伯特公理体系，希尔伯特首先抽象地把几何基本对象叫做点、直线、平面。作为不定义元素，分别用A、B、C、…，α、b、с、…，α、β、у、…表示，然后用5组公理：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理来确定基本几何对象的性质，用这5组公理作为推理的基础，可以逻辑地推出欧几里得几何的所有定理，因而使欧几里得几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系。希尔伯特公理体系的完成，不仅使欧几里得《几何原本》的完善工作告一段落，且使数学公理法基本形成，促使20世纪整个数学有了较大的发展，甚至这种影响也扩大到其他科学领域，如物理、力学等。

希尔伯特公理体系中的公理如下：

（1）对于两点A、B，存在通过这两点的直线α；

（2）对于不同两点A、B，至多存在一条直线通过这两点；

（3）每条直线上至少有两点，至少存在三点不在同一直线上；

（4）对于不在同一直线上的三点A、B、C，存在通过这三点的平面α ，在每个平面上至少有一个点；

（5）对于不在同一直线上的三点A、B、C，至多有一个平面α 通过这三点；

（6）如果直线α 的两点A、B 在平面α 上，那么直线α 的每个点都在平面α 上；

（7）如果两个平面α、β通过一点A，那么它们通过另一个点B；

（8）至少存在四个不在同一平面上的点。结合公理①～⑧确定了点、直线、平面的结合关系，结合关系叙述为“在……上”和“……通过……”。利用结合公理①～⑧就可以推出一系列定理。例如，①两条直线至多有一个交点；两个平面或者没有交点，或者有一条相交直线；平面和不在其上的直线至多有一个交点。

（2）通过一条直线和不在其上的一点，或通过相交的两条直线，有且只有一个平面；每个平面上至少有三点。

（1）如果点B在点A、C之间，那么点A、B、C是一条直线上的不同三点，而且点B也在点C、A 之间。

（2）对于两点A、C，直线AC上至少存在一点B，使点C 在点A、B 之间。

（3）在一条直线上的三点中，至多有一点在另两点之间。

（4）设A、B、C是不在同一直线上的三点，α是平面ABC上的一条直线，但不通过三点A、B、C 的任何一个。如果直线α通过线段AB上的点，那么它或者通过线段AC上的点，或者通过线段BC上的点。顺序公理④又叫做帕施公理，顺序公理①～④确定了几何元素顺序关系，这种关系叙述为“……在……之间”。利用顺序公理①～④和结合公理①～⑧，就可以推出一系列有关顺序的定理，例如，①直线α上的点O 把这条直线上的其他点分为两类，使点O 不在同一类的两点之间，而在不同类的两点之间。

（2）在平面α 上的每条直线α，把α 上不在直线α上的点分为两类，使同一类的两点确定的线段与直线α没有交点，而不同类的两点确定的线段与直线α有交点。

（3）每个平面α 把不在其上的点分为两类，使同一类的两点确定的线段与平面α 没有交点，而不同类的两点确定的线段与直线α有交点。

（1）如果A、B是直线α上的两点，A┡是同一条或另一条直线α┡上的一点，那么在直线α┡上点A┡的一侧，总有一点B┡使线段AB 合同于线段A┡B┡。对于每个线段AB，都有合同关系AB呏BA；

（2）如果线段A┡B┡、A″B″都合同于同一线段 AB，那么线段A┡B┡合同于线段A″B″，就是说，如果A┡B┡呏AB，A″B″呏AB，那么A┡B┡呏A″B″；

（3）设线段AB 和BC 是直线α上的两个线段，没有公共内点，A┡B┡ 和 B┡C┡是同一条或另一条直线 α┡上的两个线段，也没有公共内点。如果 AB 呏A┡B┡，BC 呏B┡C┡，那么AC呏A┡C ┡；

（4）在平面α 上有一个角∠(hk)，在同一个或另一个平面 α┡上有一条直线α┡，而且在平面α┡上给出直线 α┡的一侧，设h┡是直线α┡上从点O 出发的射线，那么在平面α┡上有且只有一条射线k┡， 使∠(hk)合同于∠(h┡k┡)，而且∠(h┡k┡)的内点都在α┡的已知一侧。每个角合同于自身，即:∠(hk)呏∠(hk)，∠(hk)呏∠(kh)；

（5）设 A、B、C 是不在同一直线上的三点，A┡、B┡、C┡ 也是不在同一直线上的三点，如果 AB 呏A┡B┡，AC呏A┡C┡， 且∠BAC=∠B┡A┡C┡，那么∠ABC呏∠A┡B┡C┡，∠ACB呏∠A┡C┡B┡。合同公理①～⑤确定了线段或角的合同关系。这种关系叙述为“……合同于……”或“……等于……”。利用合同公理①～⑤、结合公理①～⑧和顺序公理①～④，就可以推出一系列的有关定理，例如：

（1）关于三角形合同的几个定理；

（2）所有直角都相等；

（3）每个线段都有惟一中点；

（4）每个角都有惟一平分线；

（5）三角形的外角大于不相邻的内角。

如果α是任意直线，A是不在 α上的一点，那么在α和A确定的平面上，只有一条直线通过A，且不与α相交。平行公理确定了直线的平行关系，这种关系叙述为“……平行于……”，利用平行公理和结合公理①～⑧，顺序公理①～④和合同公理①～⑤，就可以推出一系列的有关定理。例如：

（1）平行于同一条直线的两条直线平行；

（2）两条平行直线与第三条直线相交，同位角、错角相等；

（3）三角形的内角和等于二直角；

（4）矩形存在；

（5）相似形存在；

（6）勾股定理。

（1）对于任意两个线段AB和CD，在直线AB上存在有限个点A₁、A₂、…、A_n，使线段AA₁、A₁A₂、…、A_n-1A_n都合同于线段CD，而且点B在A、A_n之间。

（2）一直线上的点的集合，在保持结合公理①和②、顺序公理②、合同公理①～⑤、连续公理①的条件下，不可能再扩充。连续公理①叫做阿基米德公理，连续公理②叫做直线的完备性公理，现在直线的完备性公理，多用康托尔公理或戴德金公理来代替，连续公理①和②确定了直线上点的连续性，也就是直线上的点和所有实数成一一对应关系，利用连续公理①和②、结合公理、顺序公理、合同公理就可以推出一系列有关连续性的定理，例如：

（1）对于任意实数α>0，总有一个线段长度等于α；

（2）如果直角的角度是ω，那么对于任意实数α，0<α <ω，总有一个角，角度等于α；

（3）如果直线通过圆内的点，那么它与圆相交于两点；

（4）如果一个圆通过另一个圆的内点和一个外点，那么这两个圆交于两点。

用以上结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理可以推出欧几里得几何的全部内容，但平行公理并不能用结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理推出。如果在这四组公理外，加上一个罗巴切夫斯基公理（见非欧几里得几何学），就可以推出非欧几何的全部内容，结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理是这两种几何的共同部分，只涉及这四组公理的内容叫做绝对几何。只有涉及欧几里得平行公理，或罗巴切夫斯基平行公理的一些命题，才是欧氏几何和非欧几何的不同内容。