[拼音]:paowuxing pianweifen fangcheng [外文]:partial differential equation of parabolic type 简称抛物型方程,一类重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。 热传导方程研究热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律导致热传导方程
式中u是温度;Δ是拉普拉斯算符;α2是导温系数; 为了确定一个具体的热传导过程,除了列出方程(1)以外,还必须知道物体Ω的初始温度(初始条件)和在它的边界嬠Ω上所受到的外界的影响(边界条件)。 初始条件:
边界条件,最通常的形式有三类。 第一边界条件(或称狄利克雷条件):
即表面温度为已知函数。 第二边界条件(或称诺伊曼条件):
式中n是嬠Ω的外法向,即通过表面的热量已知。 第三边界条件(或称罗宾条件): ![]() (5)式中α≥0;即物体表面给定热交换条件。 除了以上三类边界条件外还可以在边界嬠Ω上给定其他形式的边界条件,如斜微商条件、混合边界条件等。 方程(1)连同初始条件(2)以及边界条件(3)、(4)、(5)中的任意一个一起构成了一个定解问题,根据边界条件的不同形式,分别称为第一、二、三边值问题,统称为热传导方程的初边值问题或混合问题。若Ω呏R3,则由方程(1)和初始条件(2)构成的定解问题称为热传导方程的初值问题或柯西问题。 基本解与格林函数基本解是点热源的影响函数。如果在t=0时刻在(ξ,η,ζ)处给定单位点热源,即u0(x,y,z,0)=δ(ξ,η,ζ)(δ是狄喇克函数),则当t>0时由它引起的在全空间 R3的温度分布(即热传导方程(1)的解)称为热传导方程的基本解。通过傅里叶变换可以得到它的表达式。当t>0时 ![]() ![]() 热传导方程初值问题(1)、(2)的解可通过叠加的步骤由基本解生成 ![]() ![]()
对于一个有界区域Ω,若边界温度为零,在初始时刻在(ξ,η,ζ)处给定一个单位点热源u(x,y,z,0)=δ(ξ,η,ζ),当t>0时由它引起在Ω内的温度分布(即热传导方程的解)称为热传导方程第一边值问题的格林函数,记作G(x-ξ,y-η,z-ζ,t)。根据格林公式 ![]()
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一个内部有热源的热传导过程(即在方程(1)中ƒ≥0),它的最低温度一定在边界上或初始时刻达到,这就是所谓的极值原理。事实上,还可以有更强的结论: (1)如果在t=T时在Ω内部某一点达到了最低温度,那么在这个时刻T以前(即t<T时)整个物体的温度等于常数,这就是所谓的强极值原理; (2)如果这个最低温度只在t=T时刻的某一边界点P达到,那么在这一点上 极值原理与边界点引理在热传导方程的研究中有很多应用,它的一个最直接的推论就是导出了热传导方程初边值问题解的惟一性和稳定性。 至于初值问题(1)、(2)的解的惟一性,它与解在无穷远点的性态有关。如果对于初值问题(1)、(2),附加上无穷远点增长阶的限制 若ƒ呏0,则由初值问题解的表达式可看出,若u0(x,y,z)有界连续,则初值问题(1)、(2)的解u(x,y,z,t)当t>0时都是无穷次连续可微的,而且关于空间变量x,y,z是解析的,关于时间变量t属于谢弗莱二类函数,即在|x|<ρ内满足
如果边界上的温度以及热源密度与时间无关(即 热传导是一个单向的不可逆过程,热总是由高温流向低温。如果边界温度为零,S(t)表示由初始时刻的温度场映到t时刻的温度场的线性解算子,即 (1)S(0)=I(I为恒同算子); (2)S(t+τ)=S(t)S(τ)t,τ≥0; (3)
设
抛物型方程和椭圆型方程的研究有相似的地方,它们互相影响、互为借鉴。椭圆型方程理论很多结果在抛物型方程中都有相应的定理,例如先验估计、极值原理等。 拟线性蜕化抛物型方程考虑在绝热过程中气体通过多孔介质的流动,这个过程可由下述方程来刻画:
形如 ![]() 的半线性抛物型方程组叫做反应扩散方程组。除了研究各种定解问题外,由于(8)的解常具有行波解u(v·x-сt)以及当t→∞时 u(x,t)趋于椭圆型方程组相应的边值问题的解(称为平衡解)这样的性质,因此以研究平衡解的稳定性为核心的各种问题就构成了半线性抛物型方程(组)的定性理论(或叫几何理论)。 |