[拼音]:Mo’ersi lilun [外文]:Morse theory 微分拓扑的一个重要分支。通常是指两部分内容:一部分是微分流形上可微函数的莫尔斯理论,即临界点理论;另一部分是变分问题的莫尔斯理论,即大范围变分法。确切地说,假设ƒ是n维微分流形M上的实值可微函数,ƒ的临界点p是指梯度向量场grad ƒ的零点,即在局部坐标下使得 M0≥R0 M1-M0≥R1-R0, …… Mk-Mk-1+…±M0≥Rk-Rk-1+…±R0, …… Mn-Mn-1+…±M0=Rn-Rn-1+…±R0, 式中Rk是n维闭流形M的k维模2贝蒂数,即同调群hk(M,Z2)的秩,Mk是M上非退化函数ƒ的指数为k的临界点的个数。这里说ƒ是非退化函数,是指ƒ的任何临界点p均非退化,即在局部坐标下ƒ在p处的黑塞矩阵
中环面M 关于水平切面V的高度函数ƒ:M→R,其中p,q,r,s是ƒ的四个非退化临界点,其指数分别为0,1,1,2,因为可以适当选择局部坐标,使得在p的邻近ƒ=ƒ(p)+x2+y2(旋转抛物面),在q的邻近ƒ=ƒ(q)-x2+y2(鞍面),在r的邻近ƒ=ƒ(r)-x2+y2(鞍面),在s的邻近ƒ=ƒ(s)-x2-y2(旋转抛物面)。命
中所列的变化。 可见,当α从小变大经过指数为λ的临界点时,Mα的同伦型变化相当于粘上一个λ维胞腔,从而整个环面M的同伦型相当于由一个 0维胞腔、两个一维胞腔以及一个二维胞腔组成的CW复形,这样就把M的同伦型与ƒ 的临界点的性态联系起来了。如果把这个事实推广到一般情形就是: 临界点理论的基本定理命M是微分流形,ƒ:M→B是非退化函数,并且任何Mα都是紧致集。于是,每个Mα都具有一个有限CW复形的同伦型,从而整个M具有一个至多是可数的CW复形的同伦型:对于指数为 λ的每个临界点,这个复形有一个λ维胞腔。 临界点理论的应用中最完美的是对测地线问题的应用,这就是变分学的莫尔斯理论。例如,考虑完备黎曼流形M上两个固定端点p和q之间的测地线问题,即是使弧长为极小的变分问题: ![]() 式中ω:[0,1]→M 表示M上的逐段光滑道路,ω(0)=p,ω(1)=q;这个变分问题的泛极线就是所谓测地线。于是,从p 到q 的所有光滑测地线的性态与流形M的拓扑结构之间是否有什么关系,这就是大范围变分学要研究的主要问题,可以应用临界点理论的框架得到相似的结果。命Ω=Ω (M;p,q)表示M上从p到q所有逐段光滑道路组成的空间,具有尺度拓扑。 ![]() 式中ρ 表示M上由黎曼尺度导出的距离函数; 命M是完备黎曼流形,p,q∈M沿任何测地线不共轭,则Ω(M;p,q)具有可数CW复形的同伦型:对于从p到q每条指数为λ的测地线,这个复形有一个λ维胞腔。 随着拓扑学的发展,莫尔斯理论本身也有很大的飞跃。例如,由于临界点定义为梯度向量场grad ƒ 的零点,自然可以考虑n维闭流形M上一般向量场X 的零点与M的拓扑结构之间的关系,即M上的动力系统 ![]() 的奇点与M的拓扑结构的关系。S.斯梅尔在某些假设下得到了形式相同的莫尔斯不等式,不过这时Mk=αk+bk+bk+1,αk表示向量场X 的k型零点的个数,bk表示k型闭轨线的条数。斯梅尔正是在这个基础上完成了他关于高维庞加莱猜想的卓越工作,这是微分拓扑学的重大成就之一。其次,由于测地线问题是一维变分问题,本来是无限维的空间Ω才能化为有限维流形应用临界点理论来处理。但一般的多维变分问题就无法做到这一点,因而要求发展无限维流形上的临界点理论,直接处理相应的无限维空间Ω,从而把原来的两个方面统一起来。
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