强性逼近

[拼音]：qiangxing bijin

[外文]：strong approximation

一种特殊的函数逼近方式。强性逼近的概念起源于数项级数的强性求和。设有级数，记其前n+1项之和为 。 如果存在正数p以及常数S适合，则说关于指数p强性可和，和是S。如果0<p┡<p，级数关于指数p强性可和，则它关于指数 p┡也强性可和。假设ƒ(x)是有周期2π 的连续函数，S_n(ƒ， x)为其傅里叶级数之前n+1项之和，则对于任何给定的正数p，都有，这里。这是早期的结论。20世纪60年代初，G.亚历克西茨首先提出n趋于无穷时，量

的阶与函数ƒ(x)的构造性态之间的关系问题，这就是所谓强性逼近问题。强性逼近的许多有趣的结果，常常表现出一些逼近定理都有可能强化。例如，对于ƒ∈Lipα(即满足条件：)的ƒ(x)的全体，L.费耶尔和的逼近定理就可强化为

，

而瓦莱-普桑和的逼近定理则可强化为

，

式中с_p是仅与p有关的正数，E奱(ƒ)为阶不超过n的三角多项式对ƒ的最佳逼近值。对于反问题，则成立如下的不等式：

p≥1时，

，

0<p<1时，

，

特别，若r是非负整数，0<α<1，β>(r+α)p，则

等价于∈Lipα。

强性逼近的另一问题是对于正数序列{λ_k}，研究级数的收敛性所蕴涵着的 ƒ的构造性态。简单的结论是：当p＞1时，

，

(*)蕴函，但p=1时不成立。当0<p≤1时，记，r为正整数，0≤α<1；则当0<α<1时，(*)蕴涵∈Lipα，α＝0时，(*)蕴涵为亚光滑函数，即有常数с>0，使得对一切x与h都成立。