[拼音]:suiji guocheng de jixian dingli [外文]:limit theorems of stochastic process 讨论一列随机过程的概率分布和样本函数极限性质的一类定理。在实值随机过程样本函数所构成的函数空间(简称样本空间)上,依不同情况引进函数间的距离,使它成为度量空间,随机过程序列 xn={xn(t),t∈T},n=1,2,…,在此样本空间上导出的概率分布序列记为{pn}。将分布函数序列{Fn}的弱收敛概念加以推广,可以研究序列{pn}的弱收敛问题,也可以研究过程样本函数列以概率1收敛的问题,后者有时也称为强收敛问题。 概率测度弱收敛用 ε表示度量空间E上的波莱尔域,即由E中的开集全体生成的σ域。设pn(n=1,2,…),p为可测度量空间(E,ε)上的概率测度,若对ε中的任一集合A,只要其边界嬠A的p测度p(嬠A)为零,就有 ![]() 则称概率测度序列{pn}弱收敛到 p。在弱收敛性的讨论中,下列两个特殊的度量空间占有特别重要的地位,一个是由区间[0,1]上全体连续函数所组成的空间 C[0,1],它关于一致距离 1946年P.爱尔特希和M.卡茨在讨论独立同分布随机变量序列{ξn}的部分和 xn={xn(t),0≤t≤1} (n=1,2,…), ![]() 式中[nt]表示不大于nt的最大整数。用pn表示xn在C[0,1]上导出的概率分布,W 表示由布朗运动B={B(t): 0≤t≤1}在C[0,1]上导出的概率分布(通常称为维纳测度),那么当n趋于∞时,{pn,n≥1}弱收敛到W。这时,也称随机过程序列{xn,n≥1}依分布收敛到B,记作 随机过程弱收敛的基本问题是寻求度量空间上概率测度列pn弱收敛到概率测度 p的充分必要条件。ю.Β.普罗霍罗夫和A.B.斯科罗霍德分别就C[0,1]和D[0,1]这两个具体的度量空间得到了下列充分必要条件: (1)pn的有限维分布弱收敛到 p对应的有限维分布。 (2){pn,n≥1}是相对紧的,即它的每一个子序列都含有弱收敛的子序列。 这样,如何验证概率测度族的相对紧性就成为验证概率测度列弱收敛的关键,这方面的重要结果是1956年普罗霍罗夫证明的下列定理:可分完备度量空间E上以A为指标集的概率测度族∏={pα,α∈A}是相对紧的充分必要条件为Π是胎紧的,即对任给ε>0,存在空间E的紧子集K,使得pα(K)>1-ε对一切α∈A成立。由此,可利用函数论的有关结果给出空间C[0,1]和D[0,1]上概率测度列{pn,n≥1}弱收敛的各种具体条件。 强不变原理仍考虑由同一概率空间上独立同分布的随机变量序列{ξn,n≥1}所引出的上述随机过程列xn,n=1,2,…。为简单计,假定Eξn=0,varξn=1。用K表示 C[0,1] 中满足如下性质的绝对连续函ƒ(t)的全体: 随机过程的极限定理可以看作是概率论中的经典极限定理在函数空间中的推广,所得到的结果是很深刻的,从弱大数律(见大数律)到中心极限定理是一种精确化,而弱不变原理又把精确化了的中心极限定理推广到随机过程序列的情形。从强大数律到重对数律也是一种精确化,而强不变原理起到了类似的作用。
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