狄利克雷特征

[拼音]：Dilikelei tezheng

[外文]：Dirichlet character

数论中重要的基本概念之一，为P.G.L.狄利克雷所引进的模q的特征，通常称之为狄利克雷特征。它可以用不同的方法来定义。这里采用如下定义:

设，p_j(1≤j≤s)是不同的奇素数，g_j是模的最小正原根，以及

其中φ(d)是不超过d，且与d互素的正整数个数。对于任给的一组整数m，m₀，m₁，…，m_s，把定义在整数集合上的函数

的特征，其中r，r₀，r₁，…， r_s是n 对模的一个指数组，即，，1≤j≤s。为了着重指出特征 ⅹ(n)是属于模的， 经常采用记号ⅹ_q(n)或ⅹ(n)mod。有关特征的基本知识如下：

（1）设ⅹ(n)是模q的特征，当(n， )=1时恒有ⅹ(n)=1，则称 ⅹ(n)为模的主特征、记为ⅹ⁰(n); 不然就称为非主特征。只取实值的特征称为实特征，其他的称为复特征。函数也是模的特征，称为ⅹ(n)的共轭特征。

（2）模q的特征ⅹ（n）是以q 为周期的周期函数，即ⅹ(n+)=ⅹ(n)。此外，ⅹ(1)=1，｜ⅹ(n)｜=1，(n，)=1。

（3）特征ⅹ(n)是完全积性函数，即对任意整数n₁，n₂有，因此ⅹ²(-1)=1。

（4）对于一个固定的模q， 有且仅有φ(q)个不同的模的特征。

（5）设塣(n)是模q的特征，则有

（6）设q≥1，(α，)=1，则有

对模的所有不同的特征求和。

（7）设ⅹ(n)是模q的非主特征，如果存在正整数q┡<q，使得对所有满足条件(n₁，q)=(n₂，q)=1，n₁呏n₂(modq┡)的n₁、n₂有ⅹ(n₁)=ⅹ(n₂)，那么就称ⅹ(n)为模q的非原特征；否则就称为模q的原特征。

狄利克雷特征的主要作用在于：利用性质⑥，可以从一个给定的整数序列中，把属于某个公差为q的算术级数的子序列分离出来。因此，它在涉及算术级数的许多数论问题诸如算术级数中的素数定理、哥德巴赫猜想的研究中，起着关键的作用。