方差分析

[拼音]：fangcha fenxi

[外文]：analysis of variance

通过分析实验数据来判断实验中各因素对结果有无影响或影响大小的统计学方法。英国统计学家、遗传学家R.A.费希尔在1923年首先提出，最初用于农业田间实验数据的统计分析。这一方法后来经过许多学者的发展在科学研究和工农业生产的许多领域获得了广泛应用。

方差分析简单地说，就是将反映全部实验数据在其平均值附近波动大小的?a href='http://www.b15k.com/baike/221/243717.html' target='_blank' style='color:#136ec2'>白芷椒胶汀狈纸獬捎赡骋灰蛩卦斐傻牟糠趾陀伤婊蟛钤斐傻牟糠郑ㄋ且灿闷椒胶偷男问奖硎荆冉险饬讲糠值拇笮。湍芘卸险庖灰蛩囟允笛榻峁挠跋烊绾巍Ｏ旅嫱ü桓鼍咛謇永此得鞣讲罘治龅囊恍┗靖拍詈痛矸椒ā＠纾幸幌钣貌煌橇衔寡“资蟮氖笛椋耘忻鞑煌橇隙孕“资笊さ挠跋欤偕栌?I>k 种饲料，按饲料的不同将小白鼠分成k组，每组的鼠数可以相等也可以不等，第i组的鼠数为n_i(i=1，2，…，k)。试验结果小白鼠增加的体重第i组为 x_i1，x_i2，…，x_ini(i=1，2，…，k)。全部数据的平均值为

式中n=n₁+n₂+…+n_k为全体鼠数，为第i组小白鼠增加体重的平均值。 上式说明，全体平均值塢是各组平均值塢₁，塢₂，…，塢_k的加权平均（权数为n₁／n，n₂/n，…，n_k/n）。反映全部数据对平均值塢离散程度的量称为变差平方和，也称总平方和，在方差分析中通常以SS_T记之。通过演算，可将SS_T分解成两部分:

上式说明形成总平方和SS_T的原因有两种:一是由于各组的平均值塢_i对于总平均值塢的离散造成的SS₁，通常称为解释平方和，也称组间平方和；另一则是纯由随机误差造成的SS₂，通常称为误差平方和，也称组内平方和。如果SS₁在SS_T中所占的份额很大，则说明不同的饲料对实验结果影响很大；在相反的极端情形下，如果SS₁=0，即各组的平均值与总平均值重合，x₁=x₂=…=x_k=塢，则SS_T将全部由随机误差造成。

因此计算SS₁/SS₂的大小，就能对饲料因素在实验中的影响作出判断。在统计学上通常将SS₁/SS₂称为F 比，这个统计量在一定条件下服从F分布。采用F比作显著性检验的方法称为F检验。 但在求F比以前，还须对SS₁和SS₂“正规化”一下，即把它各除以自己的自由度k-1和n-k，得到的

MS₁=SS₁/(k-1) MS₂=SS₂/(n-k)相应地称为解释平均平方和（组间平均平方和）及误差平均平方和（组内平均平方和）。

上述例子只考虑了一个因素（饲料的不同）的方差分析，但其基本思想可直接推广到多因素的情况。例如，在上例中除了考虑饲料的因素之外，还可考虑小白鼠的不同品种。这时有两个因素（饲料和品种）影响着小白鼠的生长。如果有k种饲料，l种品种，则实验数据要分成kl组。为了要对总平方和进行平方和的分解，需要对实验进行适当的设计，这是统计学中另一分支“实验设计”研究的主要内容。此外多因素方差分析还要考虑两个因素的相互影响，两个因素影响的总的效果往往不是单个因素影响的简单相加。这种现象在实验设计中称为交互作用。在单因素方差分析中不存在这种交互作用，它是多因素方差分析中特有的问题。